Sesión del miércoles, 19 de agosto de 2026
El objetivo de esta guía práctica es repasar intervalos de confianza, y además aplicar las herramientas teóricas y prácticas aprendidas hasta el momento para realizar pruebas de hipótesis, tanto para diferencias de medias como direccionales utilizando la prueba t.
En detalle, en el práctico de hoy veremos:
Cálculo e interpretación de intervalos de confianza
Formular hipótesis, realizar una prueba t en R e interpretar sus principales resultados.
Recordemos que un intervalo de confianza es la mejor estimación del rango de un estadístico en la población (parámetro poblacional) con una muestra aleatoria
El nivel de confianza describe qué tan frecuentemente este procedimiento produciría intervalos que contienen la verdadera media poblacional si repitiéramos muchas veces el muestreo.
A modo de repasar el contenido de intervalos a confianza, resolveremos el ejercicio autónomo de la última sesión práctica. Trabajaremos con el conjunto de datos Galton, incluido en el paquete HistData, que contiene las estaturas de 928 hijos e hijas adultos recopiladas por Francis Galton en 1886.
Este es, de hecho, el conjunto de datos histórico que dio origen al estudio de la curva normal aplicada a variables biológicas.
if (!requireNamespace("pacman", quietly = TRUE)) install.packages("pacman") # Si no está instalado, instala el paquete
pacman::p_load(HistData)
data("Galton")
names(Galton) # revisar las variables disponibles: "parent" y "child"[1] "parent" "child" altura <- Galton$child # creamos el vector con la variable de interésLa función p_load del paquete pacman simplifica el proceso de carga de paquetes, ya que se pueden cargar varios paquetes a la vez y, en caso de que alguno de esos paquetes no esté previamente instalado, p_load lo reconoce e instala
La unidad de medida de la variable se encuentra en pulgadas.
Los # en el código
En este código y siguientes aparecen varios #, que son una función de comentarios en R. Todo lo escrito después de # es un comentario para explicar el código o texto. R no lo ejecuta.
Pueden servir como herramientas para tomar apuntes mientras se trabaja en el código
media <- mean(Galton$child)
desv_estandar <- sd(Galton$child)
media[1] 68.08847desv_estandar[1] 2.517941hist(Galton$child,main="Histograma del Vector",xlab="Valor",ylab="Frecuencia",col="cyan4",border="black")
z_scores <- (Galton$child - media) / desv_estandar # aplicamos la fórmula del puntaje Z a la variable child dentro de la base de datos Galtonhead()).head(z_scores)[1] -2.537180 -2.537180 -2.537180 -2.537180 -2.537180 -2.338605tail()).tail(z_scores)[1] 2.228618 2.228618 2.228618 2.228618 2.228618 2.228618max <- max(z_scores)
max[1] 2.228618El máximo puntaje Z corresponde a 2.23. Esto significa que el hijo o hija más alto se encuentra 2.23 desviaciones estándar sobre el promedio
min <- min(z_scores)
min[1] -2.53718El mínimo puntaje corresponde a -2.53, lo que se entiende como que el hijo o hija más bajo se encuentra -2.53 desviaciones estándar bajo el promedio
Obteniendo valores observados a partir de puntajes Z
En el ejericio anterior, calculamos los puntajes Z para valores específicos de la variable estatura, en específico el mínimo y máximo. Esto nos permitió conocer cuántas desviaciones estándar se encontraba cada valor respecto de la media.
Tambiés es posible hacer el ejercicio inverso, es decir, calcular el valor observado a partir de un puntaje Z. Para esto, utilizaremos la fórmula del puntaje Z y despejaremos el valor observado.
Recordemos que la fórmula del puntaje Z es: \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
Por lo tanto,si queremos obtener el valor observado, debemos despejar X de la fórmula:
\[ X = Z \cdot \sigma + \mu \]
Para verificar, veamos que pasa con el valor observado del puntaje Z máximo, que es 2.23:
(max * desv_estandar) + media[1] 73.7Por lo tanto conociendo Z también podemos volver a valores observados de la distribución original … que en realidad ya conocemos, porque tenemos la variable:
max(Galton$child) # valor máximo de la variable original[1] 73.7Pero, lo interesante es que podemos hacer esto mismo para un valor teórico de Z, que por ejemplo podría ser el límite superior de un intervalo de confianza al 99% (2.58). Entonces, si queremos saber cuál es el valor observado que corresponde a un puntaje Z de 2.58, podemos hacer lo siguiente:
(2.58 * desv_estandar) + media[1] 74.58476Por lo tanto, el valor observado que corresponde a un puntaje Z de 2.58 es de 74.58 pulgadas, lo que significa que un 0,5% de los hijos e hijas miden más que este valor (ya que el 99% de la distribución se encuentra entre desviaciones estándar de la media, y el restante 1% se divide en 0.5% por cada cola de la distribución).
Recordemos que la fórmula del error estándar es: \[ SE = \frac{s}{\sqrt{n}} \]
Donde:
\(s\) es la desviación estándar de la muestra. \(n\) es el número de casos de la muestra.
Para nuestro caso, reemplazamos los valores en la fórmula:
n_vector <- length(Galton$child)
se <- desv_estandar / sqrt(n_vector)
se[1] 0.08265547Esto quiere decir que el error estándar estimado de la distribución de medias muestrales es 0,083: nos indica cuánto tienden a variar las medias entre posibles muestras de igual tamaño.
El error estándar es una estimación de la desviación estandar de los promedios de varias muestras a partir de una sola muestra
Su fórmula es la siguiente:
\[ IC = \bar{x} \pm z \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \]
Donde:
Recordemos que el valor crítico para un 95% de confianza es de 1.96 (link al práctico anterior)
lim_inf <- media - 1.96 * se # Limite inferior del Intervalo
lim_inf[1] 67.92647lim_sup <- media + 1.96 * se # Límite superior del Intervalo
lim_sup[1] 68.25047Generamos un gráfico para visualizar de mejor manera el intervalo de confianza que construimos
plot(
NULL,
xlim = c(67.3, 68.6), # rango eje x
ylim = c(0.8, 1.3), # rango del eje y (~ altura)
yaxt = "n", # suprime el eje y
ylab = "", # título eje y
xlab = "Valor de la media", # título eje x
bty = "n" # elimina bordes
)
segments( # línea recta que representa el IC
lim_inf, 1,
lim_sup, 1,
lwd = 6,
col = "#009688"
)
points( # punto que representa la media
media, 1,
pch = 19,
cex = 1.6,
col = "#17233A"
)
text(
media, 1.18,
paste0("Media\n", round(media, 2))
)
text(
lim_inf, 0.85,
paste0("Límite inferior\n", round(lim_inf, 2))
)
text(
lim_sup, 0.85,
paste0("Límite superior\n", round(lim_sup, 2))
)
Podemos observar que contamos con una media muestral de 68.1 como estimación puntual. Ahora, se puede decir con un 95% de confianza que la media poblacional se encuentra entre 67.93 y 68.25.
En simple: si estimamos 100 intervalos de confianza, 95 de ellos contendrán la media poblacional.
El puntaje para el intervalo de confianza a un 95% es 1.96. Para un intervalo de confianza al 99% es 2.58, el cual refiere a la área acumulada bajo la curva normal. Entonces, calculemos el intervalo de confianza
lim_inf_99 <- media - 2.58 * se # Limite inferior del Intervalo
lim_inf_99[1] 67.87522lim_sup_99 <- media + 2.58 * se # Límite superior del Intervalo
lim_sup_99[1] 68.30172Podemos observar que al calcular el IC para un 99% de confianza, el ancho del intervalo se amplía, es decir, el rango donde se puede hallar el parámetro poblacional es mayor, encontrándose entre 67.88 y 68.30
Recordemos que también podemos utilizar la función t.test para calcular el intervalo de confianza de manera mucho más rápida. Solamente debemos especificar el vector y el nivel de confianza.
t.test(Galton$child, conf.level = 0.99)$conf.int[1] 67.87512 68.30182
attr(,"conf.level")
[1] 0.99Así, llegamos a los mismos resultados.
sample().set.seed(123)
muestra_50 <- sample(altura, 50)
muestra_500 <- sample(altura, 500)la función set.seed fija una semilla para que las secuencias de números “aleatorios” que produce R sean reproducibles. Es decir, asegura que otra persona que corra el mismo script obtenga los mismos resultados
media_50 <- mean(muestra_50)
desv_estandar_50 <- sd(muestra_50)
n_media_50 <- length(muestra_50)
se_50 <- desv_estandar_50 / sqrt(n_media_50)
se_50[1] 0.3390383Calculamos el intervalo
t.test(muestra_50)$conf.int[1] 67.25868 68.62132
attr(,"conf.level")
[1] 0.95La media como estimación puntual es de 67.9, mientras que con un 95% de confianza podemos asegurar que el parámetro poblacional se encuentra entre 67.26 y 68.62.
Ahora realicemos el mismo procedimiento con la muestra generada con 500 casos
media_500 <- mean(muestra_500)
desv_estandar_500 <- sd(muestra_500)
n_media_500 <- length(muestra_500)
se_500 <- desv_estandar_500 / sqrt(n_media_500)
se_500[1] 0.1109578Calculamos el intervalo
t.test(muestra_500)$conf.int[1] 67.832 68.268
attr(,"conf.level")
[1] 0.95Al comparar el error estándar de la muestra de 50 con la muestra de 500, podemos ver que, a medida que la muestra es más grande, el error estándar se vuelve más pequeño.
De la misma manera, el intervalo de la muestra de 50 casos es de 67.28 y 68.60, mientras que el de la muestra de 500 es más reducido, conteniendo valores entre el 67.83 y 68.27. Así, podemos afirmar que una muestra con mayor cantidad de casos tenderá a entregar intervalos más pequeños, es decir, estimaciones más precisas
t.test(muestra_50, conf.level = 0.99)$conf.int[1] 67.03139 68.84861
attr(,"conf.level")
[1] 0.99t.test(muestra_500, conf.level = 0.99)$conf.int[1] 67.76309 68.33691
attr(,"conf.level")
[1] 0.99A medida que la muestra se vuelve más grande, el error estándar se vuelve más pequeño, es decir, es más preciso en la estimación.
A medida que el intervalo de confianza aumenta en su nivel de confiabilidad, el rango se vuelve más amplio y, en consecuencia, la estimación es menos precisa, a menos que aumente su tamaño muestral
Hasta ahora utilizamos el error estándar para expresar la incertidumbre de una estimación mediante intervalos de confianza. Ahora usaremos esa misma idea de variabilidad muestral para responder una nueva pregunta: ¿las diferencias entre grupos que logramos observar en una muestra, pueden ser representativas de a nivel de la población?
Para este punto, recurriremos a todas las herramientas que hemos aprendido hasta ahora:
| Concepto | Definición |
|---|---|
| Curva normal | Distribución teórica que nos entrega un estándar para comparar distribuciones empíricas |
| Teorema central del límite | Al calcular un estadístico de distintas muestras de una misma población, estos valores se distribuirán de manera normal |
| Error estándar | Desviación estándar de los promedios de distintas muestras de una misma población |
| Puntajes Z | Medida estandarizada la cual se expresa en términos de desviación estándar |
| Intervalos de confianza | Rango de probabilidad de un parámetro poblacional |
Para esta sección del práctico, trabajaremos con un subconjunto de datos previamente procesados de la Encuesta de Caracterización Socioeconómica (CASEN) del año 2022, elaborada por el Ministerio de Desarrollo Social y Familia.
Para este ejercicio, obtendremos directamente esta base desde internet. No obstante, también tienes la opción de acceder a la misma información a través del siguiente enlace: CASEN 2022. Desde allí, podrás descargar el archivo que contiene el subconjunto procesado de la base de datos CASEN 2022.
En inferencia, las pruebas de hipótesis nos permiten evaluar qué tan compatibles son los resultados observados en nuestra muestra con una hipótesis planteada sobre la población. Aquí recomendamos una lista de cinco pasos lógicos para enfrentarnos a la inferencia estadística:
| Paso | Detalle |
|---|---|
| 1 | Formula \(H_0\) y \(H_A\) y estipula la dirección de la prueba |
| 2 | Calcula el error estándar (SE) y el valor estimado de la prueba (ej: Z o t) |
| 3 | Especifica la probabilidad de error \(\alpha\) y el valor crítico de la prueba |
| 4 | Contrasta el valor estimado con el valor crítico |
| 5 | Interpreta los resultados |
La hipótesis nula (\(H_{0}\)) es la contraria a la hipótesis original, y es la buscamos falsar
Además de estos 5 pasos también existe la posibilidad de calcular un intervalo de confianza, que acompañe la precisión de nuestra estimación.
Comencemos por preparar nuestros datos. Iniciamos cargando las librerías necesarias.
pacman::p_load(dplyr, # Manipulación datos
gginference, # Visualización
rempsyc, # Reporte
kableExtra, # Tablas
broom, # Varios
flextable # nice table
)
options(scipen = 999) # para desactivar notación científica
rm(list = ls()) # para limpiar el entorno de trabajodplyr será uno de los paquetes más frecuentrados en nuestro flujo de trabajo, ya que nos entrega las herramientas esenciales para el procesamiento de datos sociales. Algunas de ellas nos permiten realizar el filtrado, selección, orden y creación de variables.
Cargamos los datos directamente desde internet.
load(url("https://github.com/cursos-metodos-facso/datos-ejemplos/raw/main/proc_casen.RData")) #Cargar base de datosA continuación, exploramos la base de datos proc_casen.
names(proc_casen) # Nombre de columnas [1] "id_vivienda" "folio" "id_persona" "hogar"
[5] "nucleo" "varunit" "varstrat" "expr"
[9] "edad" "sexo" "educ" "activ"
[13] "y1" "ytrabajocor" "pobreza_multi_5d" "o15"
[17] "qaut" "fdt" "ocupado" "desocupado"
[21] "inact" "hijo" "n_educ" "universitaria"
[25] "tipo_ocup" "ss_salud" "ayuda_moverse" "ayuda_thogar"
[29] "disc_fisica" dim(proc_casen) # Dimensiones[1] 202111 29Contamos con 29 variables (columnas) y 202.111 observaciones (filas).
En estadística, la formulación de hipótesis que implica dos variables (o la comparación de grupos) busca determinar si las diferencias que se encuentran en la muestra son extrapolables a la población.
Ahora vamos a aprender a contrastar hipótesis sobre diferencias entre grupos. Si nuestra hipótesis plantea solamente que los grupos son diferentes, sin especificar cuál tendrá un promedio mayor, utilizamos una prueba de dos colas o no direccional.
Contrastamos la hipótesis nula de no diferencias entre grupos: \[ H_{0}: \mu_{1} - \mu_{2} = 0 \] En relación a una hipótesis alternativa sobre diferencias entre grupos: \[ H_{A}: \mu_{1} - \mu_{2} \neq 0 \]
Además, podemos plantear hipótesis respecto a que el valor de cierto parámetro para un grupo puede ser mayor o menor al de otro grupo. A esto se le conoce como hipótesis de una cola y lo veremos más adelante.
Veamos ahora cómo aplicar todos estos conocimientos con ejercicios. Primero, para asegurar la reproducibilidad de los resultados, utilizamos set.seed
set.seed(123) # Fijar la semilla para reproducibilidadEstamos en un escenario donde la pregunta de investigación es: ¿Existen diferencias salariales entre hombres y mujeres en Chile?
Para diferencia de medias utilizaremos prueba t, la cual es una especie de extensión de la prueba Z para diferencia de medias, y que se asimila a Z con muestras mayores a 30. Por lo tanto, por el momento vamos a asumir que Z=t, y sus diferencias se verán en el próximo práctico
Para contrastar esta hipótesis, vamos utilizar la base de datos proc_casen, seleccionaremos las variables sexo e ytrabajocor (ingresos) y haremos un subset de datos de 1.500 casos.
casen_subset <- proc_casen %>%
select(sexo, ytrabajocor) %>% # seleccionamos
sample_n(1500) # extraemos una muestra de 1500 casos
casen_subset <- na.omit(casen_subset) # eliminamos casos perdidos (listwise)El símbolo %>% se llama pipe, y es una de las funciones más útiles de R. Su utilidad radica en que permite encadenar operaciones, es decir, lee el código como una secuencia de pasos en lugar de funciones aisladas, donde el resultado de un comando pasa a ser el primer argumento del siguiente comando, lo que permite ahorrar líneas de código
Generamos tabla para visualizar la distribución de los datos.
casen_subset %>%
dplyr::group_by(sexo) %>% # se agrupan por la variable categórica
dplyr::summarise(Obs. = n(), # columna para el N de cada categoría
Promedio = mean(ytrabajocor, na.rm=TRUE),
SD = sd(ytrabajocor, na.rm=TRUE)) %>% # se agregan las operaciones a presentar en la tabla
kableExtra::kable(format = "markdown") # se genera la tabla| sexo | Obs. | Promedio | SD |
|---|---|---|---|
| 1 | 379 | 690724.8 | 613238.9 |
| 2 | 309 | 585360.4 | 567737.7 |
Ahora vamos con los 5 pasos de la inferencia
1. Formulación de hipótesis
El primer aspecto a establecer es el tipo de hipótesis a formular: ¿Direccional o no direccional? En este caso, la pregunta no indica una direccionalidad, por lo tanto corresponde a una hipótesis no direccional. Si hubiera sido una pregunta que hiciera referencia a una mayoría de un grupo por sobre otro (“¿Es el salario de los hombres mayor que el de las mujeres?”) correspondería a una hipótesis direccional.
La hipótesis general es que el salario de los hombres es distinto que el de las mujeres. Pasando a lenguaje de hipótesis, esto se plantea como:
Hipótesis alternativa:
\[H_{a}: \bar{X}_{hombres} - \bar{X}_{mujeres} \neq 0\]
Hipótesis nula:
\[H_{0}: \bar{X}_{hombres} - \bar{X}_{mujeres}= 0\]
2. Obtención del error estándar y estadístico de prueba
La fórmula para error estándar en diferencia de medias es:
\[SE=\sqrt{\frac{\sigma_{diff}}{n_a}+\frac{\sigma_{diff}}{n_b}}\]
Ahora aplicamos la fórmula con nuestros datos
media_hombres <- mean(casen_subset$ytrabajocor[casen_subset$sexo == 1]) # media para hombres
media_mujeres <- mean(casen_subset$ytrabajocor[casen_subset$sexo == 2]) # media para mujeres
var_hombres <- var(casen_subset$ytrabajocor[casen_subset$sexo == 1]) # varianza para hombres
var_mujeres <- var(casen_subset$ytrabajocor[casen_subset$sexo == 2]) # varianza para mujeres
n_hombres <- length(casen_subset$ytrabajocor[casen_subset$sexo == 1]) # n para hombres
n_mujeres <- length(casen_subset$ytrabajocor[casen_subset$sexo == 2]) # n para mujeres
# aplicamos la fórmula de error estándar para diferencia de medias
se_diff <- sqrt((var_hombres / n_hombres) + (var_mujeres / n_mujeres))
se_diff[1] 45115.123. Establecer probabilidad de error
Recordemos que, por convención, nuestra probabilidad de error es \(a\) = 0.05
4. Intervalo de confianza
diff_medias <- media_hombres - media_mujeres # diferencia de medias observada
lim_inf <- diff_medias - 1.96 * se_diff # límite inferior del intervalo
lim_sup <- diff_medias + 1.96 * se_diff # límite superior del intervalo
lim_inf[1] 16938.82lim_sup[1] 193790.1Entonces nuestro intervalo de confianza quedaría de tal manera: \(CI\)[16939.82; 193790.1]
Ahora…
Pasos 2, 3 y 4 de una vez con R
Obtener error estándar y estadístico de prueba empírico correspondiente (ej: Z o t)
Establecer la probabilidad de error \(\alpha\) (usualmente 0.05) y obtener valor crítico (teórico) de la prueba correspondiente
Cálculo de intervalo de confianza / contraste valores empírico/crítico
Luego de establecer las hipótesis nos vamos directamente al software, ya que R nos permite obtener de una vez toda la información de los pasos 2, 3 y 4.
test_ej1 <- t.test(casen_subset$ytrabajocor ~ casen_subset$sexo, # define las variables que serán sometidas al test de hipótesis
alternative = "two.sided", # define la hipótesis alternativa
conf.level = 0.95) # establece el nivel de confianza
test_ej1
Welch Two Sample t-test
data: casen_subset$ytrabajocor by casen_subset$sexo
t = 2.3355, df = 674.99, p-value = 0.01981
alternative hypothesis: true difference in means between group 1 and group 2 is not equal to 0
95 percent confidence interval:
16781.61 193947.32
sample estimates:
mean in group 1 mean in group 2
690724.8 585360.4 También podemos visualizarlo en una tabla más amable.
stats.table <- tidy(test_ej1, conf_int = T) # se convierten los datos del test en un dataframe
nice_table(stats.table, broom = "t.test") # convierte el dataframe en tablaMethod | Alternative | Mean 1 | Mean 2 | M1 - M2 | t | df | p | 95% CI |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Welch Two Sample t-test | two.sided | 690,724.82 | 585,360.36 | 105,364.47 | 2.34 | 674.99 | .020* | [16781.61, 193947.32] |
Los intervalos de confianza calculados de manera manual difieren levemente de los estimados con t.test. Esto se debe a que t.test utiliza el valor crítico de la distribución t, el cual es 1.9635, mientras que en el cálculo manual utilizamos 1.96. En la próxima clase ahondaremos en este tema
Visualicemos la distribución de esta prueba y su zona de rechazo.
gginference::ggttest(test_ej1)
5. Interpretación
Antes de la interpretación, aclaremos algunos conceptos:
El valor \(p\) es la probabilidad de observar un resultado (una diferencia de medias, un estadístico \(t\)) igual o más extremo que el obtenido en la muestra, asumiendo que \(H_0\) es verdadera
Si \(p < \alpha\) → rechazamos \(H_0\) (el resultado es “estadísticamente significativo”: es poco probable observar algo así si \(H_0\) fuera cierta)
Si \(p \geq \alpha\) → no rechazamos \(H_0\) (los datos son compatibles con la ausencia de efecto)
Ahora, pasemos a la interpretación:
La prueba t que evalúa la diferencia de medias entre el salario y el sexo sugiere que el efecto es positivo y estadísticamente signficativo (diferencia = 105.364,47, t = 2.34, p < .05). El valor \(p\) indica que la probabilidad de observar una diferencia de esta magnitud, o mayor, bajo la suposición de \(H_{0}\) es menor al 5%. Por tanto, con un 95% de confianza, rechazamos la \(H_{0}\) ya que existe evidencia a favor de nuestra \(H_{A}\) respecto a que hay diferencias de salario entre hombres y mujeres.
Mientras más grande (en valor absoluto) sea \(t\), más lejos está el resultado observado de lo que \(H_0\) predice, y por lo tanto más pequeño es el valor \(p\) asociado
Tomando como ejemplo el trabajo de la ganadora del Premio Nobel de Economía 2023 Claudia Goldin, en este siguiente ejercicio evaluaremos la siguiente pregunta: ¿Es el salario de las mujeres con hijos distinto al salario de las mujeres sin hijos? Por ende, usaremos prueba \(t\) para diferencia de medias.
Siga las siguientes instrucciones:
Utilice la base de datos proc_casen, seleccionando las variables ocupado, sexo, ytrabajocor e hijo
Filtre por ocupado == 1 y sexo == 2 para quedarnos sólo con mujeres ocupadas
Genere una muestra aleatoria de 1.500 casos con la función sample_n() y elimine los casos pérdidos con na.omit()
Genere una tabla de descriptivos presentando la cantidad de casos, la media y la desviación estándar.
Aplique los 5 pasos para la inferencia mediante el uso de software
Interprete los resultados
Hoy vimos:
Repaso de los intervalos de confianza, observando la importancia del error estándar y la estimación de rangos para encontrar el parámetro poblacional
Contraste de hipótesis mediante pruebas de diferencias de medias
Aplicar los 5 pasos para la inferencia mediante software
Para cerrar…
Nuestro objetivo no es rechazar \(H_{0}\) a toda costa, sino evaluar si los datos entregan evidencia suficiente para rechazarla. Un resultado en que no rechazamos \(H_{0}\) también es un resultado estadístico válido