Distribución Normal e Intervalos de Confianza

Sesión del miércoles, 12 de agosto de 2026

Objetivo de la práctica

El objetivo de esta guía práctica es utilizar la distribución normal para ubicar valores y calcular probabilidades, y estimar la precisión de una media muestral mediante el error estándar y un intervalo de confianza.

En detalle, aprenderemos a:

1. reconocer las principales características de la distribución normal;
2. calcular e interpretar puntajes Z y probabilidades acumuladas;
3. calcular e interpretar el error estándar de la media;
4. relacionar el tamaño muestral con la precisión;
5. calcular e interpretar un intervalo de confianza del 95 %.

1 De la distribución muestral a la distribución normal

En la clase anterior observamos que las medias de distintas muestras no son idénticas, sino que tienden a concentrarse alrededor de la media poblacional.

Si contamos con una sola muestra, ¿cómo podemos estimar cuánto variarían las medias de muchas muestras?

Para responder esta pregunta utilizaremos la distribución normal, cuya forma observaremos en el siguiente gráfico:

curve(
  dnorm(x),
  from = -4,
  to = 4,
  xlab = "Posición respecto del centro",
  ylab = "Densidad",
  main = "Distribución normal"
)

abline(v = 0, lty = 2, col = "cyan4")

La función curve() dibuja la distribución normal entre −4 y 4. La línea vertical indica el centro de la distribución.

La curva es simétrica: la mayoría de los valores se concentra cerca del centro y los valores alejados son menos frecuentes. Para calcular probabilidades utilizaremos áreas bajo la curva, como veremos más adelante.

2 Estandarización y puntaje Z

Para trabajar con un ejemplo concreto, crearemos un vector de 100 puntajes simulados con media poblacional 5 y desviación estándar poblacional 2.

La función rnorm() genera valores aleatorios a partir de una distribución normal. Sus principales argumentos son el número de valores, la media y la desviación estándar.

set.seed(123) # Fija la semilla para obtener siempre los mismos valores simulados
vector <- rnorm(100, mean = 5, sd = 2) # Crea 100 valores con media 5 y desviación estándar 2

media <- mean(vector) # Calcula la media de los valores creados
desv_estandar <- sd(vector) # Calcula la desviación estándar de los valores creados

media # Muestra la media en la consola
desv_estandar # Muestra la desviación estándar en la consola

Tip

Un vector es una colección ordenada de valores del mismo tipo. Un objeto es un nombre al que asignamos un valor para poder reutilizarlo; por ejemplo, media <- mean(vector).

La media obtenida es aproximadamente 5,18 y la desviación estándar es aproximadamente 1,83. Estos cálculos son el punto de partida para ubicar cada observación respecto de la distribución.

Al estandarizar un valor lo expresamos en unidades de desviación estándar. El resultado se denomina puntaje Z.

2.1 Cálculo de puntaje Z

Recordemos que la formula para calcular el puntaje Z es: \[ z = \frac{x_i - \bar{x}}{s} \]

donde \(x_i\) es el valor observado, \(\bar{x}\) la media y \(s\) la desviación estándar. Un Z positivo indica que el valor está sobre la media; uno negativo, que está bajo ella; y uno cercano a cero, que está próximo a la media.

valor <- vector[1]
z_valor <- (valor - media) / desv_estandar

valor

[1] 3.879049

z_valor

[1] -0.713048

El primer valor es aproximadamente 3,88 y su puntaje Z es aproximadamente -0,71: se encuentra 0,71 desviaciones estándar bajo la media.

Ahora compara dos puntajes de evaluaciones diferentes:

z_evaluacion_a <- (72 - 60) / 10
z_evaluacion_b <- (650 - 500) / 100

z_evaluacion_a

[1] 1.2

z_evaluacion_b

[1] 1.5

¿En cuál evaluación la persona ocupa una posición relativamente más alta? ¿Cómo lo sabes?

Tip

La función scale() también permite estandarizar un vector completo. En este práctico utilizaremos el cálculo manual para hacer visible la lógica del puntaje Z.

2.2 Probabilidades a partir de Z

2.2.1 Cálculo de probabilidades a partir de Z

Los puntajes Z permiten calcular qué proporción de los casos se encuentra por debajo de un valor en una distribución normal.

La función pnorm() calcula la proporción acumulada hasta un valor Z. Por ejemplo:

pnorm(0) # Calcula la proporción ubicada bajo Z = 0

[1] 0.5

Como Z = 0 corresponde al centro de la distribución, el resultado es 0.50: el 50 % de los casos se encuentra por debajo de ese valor.

Supongamos que la estatura de un grupo de mujeres tiene una media de 1,60 m y una desviación estándar de 0,06 m. ¿Qué porcentaje mide menos de 1,50 m?

Primero calculamos el puntaje Z de 1,50 m:

z_150 <- (1.50 - 1.60) / 0.06 # Calcula el puntaje Z
z_150 # Muestra el resultado

[1] -1.666667

Luego calculamos la proporción que se encuentra bajo ese valor:

pnorm(z_150) # Calcula la proporción que mide menos de 1,50 m

[1] 0.04779035

El resultado 0.0478 indica que aproximadamente el 4,8 % mide menos de 1,50 m. Esta estatura se encuentra 1,67 desviaciones estándar por debajo de la media.

En el siguiente gráfico, el área roja representa esa proporción:

x_values <- seq(-4, 4, length = 1000)
y_values <- dnorm(x_values)

plot(
  x_values, y_values,
  type = "l",
  xlab = "Valor Z",
  ylab = "Densidad",
  main = "Proporción bajo 1,50 m"
)

x_area <- seq(-4, z_150, length = 100)

polygon(
  c(-4, x_area, z_150),
  c(0, dnorm(x_area), 0),
  col = "#eb0505",
  border = NA
)

lines(x_values, y_values)

3 Error estándar

Volvamos a la pregunta inicial: > ¿Cuánto variarían las medias si extrajéramos repetidamente muestras del mismo tamaño?

El error estándar de la media estima cuánto variarían las medias entre distintas muestras. Se calcula mediante:

\[ EE = \frac{s}{\sqrt{n}} \]

Donde:

\(s\) es la desviación estándar de la muestra. \(n\) es el número de casos de la muestra.

n_vector <- length(vector) # length Cuenta cuántos valores contiene el vector
ee_vector <- desv_estandar / sqrt(n_vector) # Calcula el error estándar // sqrt calcula la raíz cuadrada

n_vector # Muestra el tamaño de la muestra
ee_vector # Muestra el error estándar

En este ejemplo, la muestra contiene 100 valores y su error estándar es aproximadamente 0,18. El error estándar de 0,18 corresponde a la desviación estándar estimada de la distribución de las medias muestrales. En otras palabras, indica cuánto suelen variar las medias obtenidas en muestras del mismo tamaño.

Nota

La desviación estándar indica cuánto varían los valores individuales. El error estándar indica cuánto variarían las medias entre distintas muestras. Un error estándar menor representa una media estimada con mayor precisión.

3.1 Tamaño muestral y precisión

Mantengamos la misma desviación estándar y comparemos muestras de 25 y 100 casos. Antes de ejecutar el código, anticipa: ¿cuál tendrá menor error estándar?

ee_n25 <- desv_estandar / sqrt(25) # Calcula el error estándar para 25 casos
ee_n100 <- desv_estandar / sqrt(100) # Calcula el error estándar para 100 casos

ee_n25 # Muestra el error estándar para 25 casos

[1] 0.3651264

ee_n100 # Muestra el error estándar para 100 casos

[1] 0.1825632

El error estándar disminuye de aproximadamente 0,37 a 0,18 cuando el tamaño de la muestra aumenta de 25 a 100 casos. Por lo tanto, una muestra más grande permite estimar la media con mayor precisión. La desviación estándar se mantuvo igual en ambos cálculos; lo único que cambió fue el número de casos.

NotaInterpretación del error estándar

El error estándar indica cuánto podrían variar las medias si tomáramos muchas muestras del mismo tamaño. En este ejemplo, un error estándar de 0,18 significa que las medias muestrales variarían alrededor de la media poblacional.

• Un error estándar pequeño indica una estimación más precisa.
• Un error estándar grande indica una estimación menos precisa.

4 Intervalos de confianza

El error estándar permite construir intervalos de confianza, es decir, rangos de valores plausibles para la media poblacional.

Supongamos que los 100 valores creados anteriormente corresponden a una muestra tomada de una población más grande. La media de la muestra es aproximadamente 5,18, pero no podemos asegurar que la media poblacional sea exactamente la misma.

La media de 5,18 es una estimación puntual. En cambio, un intervalo de confianza utiliza el error estándar para construir un rango de valores plausibles para la media poblacional.

4.1 Intervalo de confianza del 95 %

El intervalo de confianza para la media se calcula mediante:

\[ IC = \bar{x} \pm z \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \]

Donde:

• \(\bar{x}\) es la media de la muestra.
• \(z\) es el valor crítico.
• \(s\) es la desviación estándar de la muestra.
• \(n\) es el tamaño de la muestra.
• \(\frac{s}{\sqrt{n}}\) corresponde al error estándar.

4.2 ¿De dónde proviene el valor 1,96?

Para construir un intervalo de confianza del 95 %, buscamos los valores Z que encierran el 95 % central de la distribución normal.

El 5 % restante se divide entre los dos extremos de la distribución:

• 2,5 % en el extremo izquierdo.
• 2,5 % en el extremo derecho.

Recordando la distribución normal:

La función qnorm(0.975) busca el valor Z que deja acumulado el 97,5 % de la distribución a su izquierda:

valor_critico <- qnorm(0.975) # Obtiene el valor crítico para un intervalo del 95 %

valor_critico # Muestra el resultado

[1] 1.959964

El resultado es aproximadamente 1,96. Por simetría, el límite del extremo izquierdo es −1,96. Por lo tanto, el 95 % central de la distribución normal se encuentra entre estos dos valores.

El 95 % central de la distribución normal se encuentra entre Z = −1,96 y Z = 1,96.

4.3 Cálculo del intervalo

Ahora sumamos y restamos 1,96 errores estándar a la media de la muestra:

limite_inferior <- media - valor_critico * ee_vector # Calcula el límite inferior

limite_superior <- media + valor_critico * ee_vector # Calcula el límite superior

limite_inferior # Muestra el límite inferior

[1] 4.822995

limite_superior # Muestra el límite superior

[1] 5.538629

El intervalo obtenido se extiende aproximadamente entre 4,82 y 5,54.

Media muestral e intervalo de confianza del 95 %.

El punto representa la media de la muestra y la línea muestra el intervalo de confianza del 95 %.

Importante

Interpretación: si repitiéramos muchas veces el muestreo y construyéramos un intervalo en cada ocasión, aproximadamente el 95 % de esos intervalos contendría la verdadera media poblacional.

Para esta muestra, obtuvimos un intervalo entre 4,82 y 5,54. Este rango representa la incertidumbre asociada a la estimación de la media poblacional.

Nota

El intervalo de confianza no contiene al 95 % de los casos individuales. Su propósito es estimar la media de la población.

Este cálculo utiliza una aproximación basada en la distribución normal. Cuando la desviación estándar poblacional es desconocida, también pueden utilizarse intervalos basados en la distribución t.

Ejercicio práctico de trabajo autónomo

En este ejercicio aplicará los contenidos revisados: cálculo de media y desviación estándar, puntajes Z, error estándar e intervalos de confianza, pero esta vez con datos reales en lugar de datos simulados.

Trabajaremos con el conjunto de datos Galton, incluido en el paquete HistData, que contiene las estaturas de 928 hijos e hijas adultos recopiladas por Francis Galton en 1886. Este es, de hecho, el conjunto de datos histórico que dio origen al estudio de la curva normal aplicada a variables biológicas.

Nota

Francis Galton, primo de Charles Darwin, no sólo hizo aportes importantes al uso de la distribución normal, también fue pionero en el uso de correlaciones, inventó la línea de regresión, fundo la psicometría, ideó un método para clasificar huellas dáctilares y fue iniciador de de la ciencia metereológica.

En su lado menos alegre, inventó el concepto de eugenesia… y abogó activamente por ella.

Instrucciones

0. Cargue la base de datos.

if (!requireNamespace("pacman", quietly = TRUE)) install.packages("pacman") # Si no está instalado, instala el paquete
pacman::p_load(HistData)
data("Galton")

names(Galton) # revisar las variables disponibles: "parent" y "child"

[1] "parent" "child" 

altura <- Galton$child # creamos el vector con la variable de interés

Tip

La unidad de medida de la variable se encuentra en pulgadas.

1. Calcule y describa la distribución

• Obtenga la media y desviación estándar de la estatura.
• Visualice la distribución en un histograma

2. Estandarice los datos (puntajes Z)

• Transforme la variable a puntajes Z
• Muestre los primeros 10 valores (head()).
• Muestre también los últimos 10 valores (tail()).
• ¿Cuál es el máximo puntaje Z y el mínimo puntaje Z? ¿A qué estatura corresponden?
• Verifique la media y desviación estándar

3. Calcule el error estándar de la variable

4. Calcule el intervalo de confianza para la media

• Estime el IC para un 95% de confianza
• Estime el IC para un 99% de confianza. ¿Qué sucede con el ancho del intervalo?

5. Explore el efecto del tamaño muestral

• Generemos 3 submuestras aleatorias con la función sample().

set.seed(123)
muestra_100 <- sample(altura, 100)
muestra_200 <- sample(altura, 200)
muestra_400 <- sample(altura, 400)

• Calcule el error estándar y el intervalo de confianza al 95% de cada muestra ¿Qué pasa con el error estándar y el intervalo de confianza a medida que aumenta el tamaño de la muestra?
• Calcule el error estándar y el intervalo de confianza al 99% de cada muestra ¿Qué pasa con el error estándar y el intervalo de confianza a medida que aumenta el tamaño de la muestra?

Síntesis

En este práctico aprendimos que:

1. la distribución normal permite representar posiciones relativas y calcular áreas o probabilidades;
2. un puntaje Z indica cuántas desviaciones estándar separan un valor de la media;
3. el error estándar estima cuánto varían las medias entre muestras y disminuye al aumentar el tamaño muestral;
4. el intervalo de confianza incorpora la incertidumbre de la estimación puntual;
5. un intervalo del 95 % se interpreta por el comportamiento del procedimiento en muestreos repetidos.

Referencias

Análisis de datos en Lenguaje R