Repaso Unidad 1: resolver problemas con inferencia estadística

Cuatro problemas para recuperar los cinco pasos de la inferencia

Sesión del viernes, 30 de octubre de 2026

Inicio · ¿Qué recordamos de la inferencia estadística?

La inferencia estadística utiliza información de una muestra para evaluar afirmaciones sobre una población, considerando la incertidumbre. En este repaso aplicaremos ese razonamiento a cuatro problemas de comparación de promedios. Todos los datos son ficticios.

Cómo trabajar: en cada problema, identifica el contraste desde la pregunta, intenta los cinco pasos aprendidos en clases y después abre la resolución o pauta. Si no recuerdas todo, utiliza la explicación posterior para completar tu razonamiento.

Ejercicio 1 · Pertenencia universitaria y participación en grupos de estudio

Pregunta de investigación

¿Difieren los promedios poblacionales de pertenencia universitaria entre estudiantes que participan y no participan en grupos de estudio?

Se encuestó a 100 estudiantes, 50 por grupo. La pertenencia universitaria se mide en una escala de 0 a 100.

Grupo 1

Participan en grupos de estudio.

Grupo 2

No participan en grupos de estudio.

Orden de la resta: grupo 1 − grupo 2. Usaremos este orden para interpretar el signo.

Intenta resolver

Paso 1 · Hipótesis y dirección. Sin mirar los promedios, ¿la pregunta busca cualquier diferencia o una dirección específica? Elige el contraste y formula \(H_0\) y \(H_A\) con \(\mu_1-\mu_2\).

Después de formular las hipótesis, utiliza estos datos. Se comparan dos grupos independientes, suponiendo varianzas poblacionales iguales; el SE ya está calculado.

Información Valor
Promedio muestral del grupo 1 (\(\bar{x}_1\)) 68
Promedio muestral del grupo 2 (\(\bar{x}_2\)) 56
Error estándar de la diferencia (SE) 5
Tamaños y grados de libertad \(n_1=n_2=50\); \(gl=98\)

El análisis se planificó con \(\alpha=0{,}05\) antes de observar resultados; compararemos además con \(\alpha=0{,}01\) como ejercicio didáctico.

Valores críticos de referencia (\(gl=98\)) \(\alpha=0{,}05\) \(\alpha=0{,}01\)
Dos colas \(\pm1{,}98\) \(\pm2{,}63\)
Una cola Magnitud \(1{,}66\) Magnitud \(2{,}37\)

Fórmulas de apoyo · pasos 2 y 4

Diferencia entre promedios

\[ \hat\Delta=\bar{x}_1-\bar{x}_2 \]

Estadístico t

\[ t=\frac{\hat\Delta}{SE_{\hat\Delta}} \]

Intervalo de confianza bilateral

\[ IC=\hat\Delta\pm(t^*\times SE_{\hat\Delta}) \]

\(\bar{x}_1\) y \(\bar{x}_2\) son los promedios muestrales; \(\hat\Delta\) es su diferencia y \(SE_{\hat\Delta}\), el error estándar ya entregado. Para calcular \(t\) usamos una diferencia de referencia de cero. En el intervalo, \(t^*\) es el valor crítico positivo correspondiente al nivel de confianza, con los grados de libertad indicados.

Paso 2 · Estadístico empírico. Calcula la diferencia grupo 1 − grupo 2 y \(t\) usando el SE. Interpreta signo y magnitud.

Paso 3 · \(\alpha\) y valor crítico. Elige los valores críticos para tu contraste y establece una regla sin aplicarla todavía.

Paso 4 · Contraste e intervalo. Decide al 5% y compara con el 1%. Calcula el IC95% de la diferencia e identifica si incluye cero.

Paso 5 · Interpretación. Distingue la diferencia muestral de la conclusión poblacional e indica una limitación causal.

Resolución guiada

1. Interpretamos la pregunta. «¿Difieren?» admite diferencias en ambas direcciones, sin anticipar cuál será mayor.

2. Formulamos \(H_0\). La igualdad de promedios poblacionales equivale a una diferencia de cero:

\[ H_0:\mu_1-\mu_2=0 \]

3. Formulamos \(H_A\). Buscamos una diferencia poblacional distinta de cero:

\[ H_A:\mu_1-\mu_2\neq0 \]

4. Elegimos el contraste. Es una prueba no direccional o de dos colas (también denominada bilateral). Usamos \(\mu\) porque las hipótesis se refieren a las poblaciones; \(\bar{x}\) representa un promedio obtenido de la muestra.

Diferencia muestral. Restamos los promedios en el orden establecido:

\[ \hat\Delta=\bar{x}_1-\bar{x}_2=68-56=12 \]

En la muestra, el grupo con participación en grupos de estudio obtiene 12 puntos más de pertenencia, en promedio.

Error estándar (SE). El valor entregado, \(SE=5\), describe la incertidumbre de esta diferencia estimada entre muestras, no la dispersión individual (desviación estándar, SD).

Estadístico t. Comparamos la diferencia observada con el cero de \(H_0\), en unidades de error estándar:

\[ t=\frac{12-0}{5}=2{,}4 \]

La diferencia está 2,4 errores estándar por encima de cero. El signo indica la dirección de la resta y la magnitud indica la distancia respecto de cero; todavía no es una decisión inferencial.

Observa la figura: los 12 puntos equivalen a dos tramos completos de 5 (2 SE) y un tramo de 2 (0,4 SE).

Consulta para estudiar: si la diferencia que propone \(H_0\) fuera \(\Delta_0\neq0\), utilizaríamos \(t=(\hat\Delta-\Delta_0)/SE_{\hat\Delta}\). En los cuatro ejercicios de esta sesión la referencia es cero.

Una misma diferencia, distinta incertidumbre. Con una diferencia de 12 puntos, \(SE=4\) produciría \(t=3\), mientras que \(SE=6\) produciría \(t=2\). La diferencia es la misma; cambia la incertidumbre.

Observa las curvas: la más ancha corresponde a mayor SE. Son distribuciones muestrales ilustrativas bajo igualdad, no dispersiones de puntajes individuales; la prueba formal se realiza con la distribución t.

Figura 1: Curvas ilustrativas de distribuciones muestrales bajo H₀: la misma diferencia observada y distintos errores estándar. La prueba formal del ejemplo utiliza t.

El análisis fijó \(\alpha=0{,}05\) antes de examinar los datos. Bajo los supuestos del contraste, este nivel establece una tasa nominal del 5% de error tipo I (rechazar \(H_0\) cuando es verdadera).

Como nuestra pregunta es de dos colas y tenemos \(gl=98\), los valores críticos son −1,98 y +1,98. La regla es:

\[ \text{Rechazar }H_0\text{ si }t<-1{,}98\text{ o si }t>1{,}98. \]

Este paso establece las fronteras; la comparación con el t observado corresponde al paso 4.

Contraste al 5%. El estadístico es \(t=2{,}4\) y cruza la frontera derecha:

\[ 2{,}4>1{,}98 \]

Por lo tanto, rechazamos \(H_0\) al 5%.

Comparación didáctica al 1%. Los críticos serían \(\pm2{,}63\); como \(2{,}4<2{,}63\), no rechazamos \(H_0\) al 1%. Este no rechazo no demuestra igualdad.

Observa la figura: la línea \(t=2{,}4\) está a la derecha de \(+1{,}98\), en la zona sombreada. El gráfico muestra el criterio del 5%, no el del 1%.

Figura 2: Prueba no direccional de dos colas (98 gl): dos regiones de rechazo que totalizan α = 0,05; t observado = 2,4.

Intervalo de confianza: complemento del paso 4. El intervalo expresa la diferencia estimada y su incertidumbre mediante un margen a ambos lados:

\[ IC=\text{estimación}\pm(\text{valor crítico}\times SE) \]

\[ ME_{95\%}=1{,}98\times5=9{,}90 \]

\[ IC_{95\%}=[12-9{,}90;\ 12+9{,}90]=[2{,}10;\ 21{,}90] \]

El IC95% no incluye cero, en concordancia con el rechazo bilateral al 5%. Con el crítico redondeado \(2{,}63\):

\[ IC_{99\%}=[12-13{,}15;\ 12+13{,}15]=[-1{,}15;\ 25{,}15] \]

El IC99% es más amplio e incluye cero, coherentemente con el no rechazo al 1%.

Observa la figura: los intervalos comparten el mismo centro; el de 99% alcanza y cruza la línea de diferencia cero.

Figura 3: Comparación de IC95% e IC99% con críticos redondeados: solo el IC99% incluye cero.

¿Qué significa 95% de confianza? En muestreos repetidos, aproximadamente el 95% de los intervalos construidos de este modo cubriría la diferencia poblacional verdadera, bajo los supuestos. No equivale a asignar una probabilidad del 95% al parámetro fijo una vez calculado el intervalo.

Conclusión modelo. «En la muestra, quienes participan en grupos de estudio presentan un promedio de pertenencia 12 puntos mayor. La prueba de dos colas aporta evidencia al 5% de una diferencia entre los promedios poblacionales, bajo los supuestos estadísticos. Esta comparación observacional no permite concluir causalidad, y la generalización depende también de cómo se obtuvo la muestra».

Valor p. Para el contraste de dos colas, \(p\approx0{,}018\): es menor que 0,05 y mayor que 0,01. Es la probabilidad, bajo \(H_0\) y los supuestos, de observar un estadístico al menos tan extremo como el obtenido; no es la probabilidad de que \(H_0\) sea verdadera.

Tamaño muestral y precisión. Para una sola media, \(SE_{\bar{x}}=s/\sqrt{n}\). Si la dispersión se mantiene y cuadruplicamos \(n\), el SE de la media se reduce a la mitad. Para dos medias, la incertidumbre depende de ambas muestras y de los supuestos del diseño.

Ejercicio 2 · Notificaciones del celular y concentración al estudiar

Pregunta de investigación

¿Existen diferencias en la concentración autopercibida al estudiar entre estudiantes con notificaciones del celular activadas y quienes las silencian?

Se encuestó a 100 estudiantes, 50 por grupo. La concentración se mide de 0 a 100; valores altos indican mayor concentración declarada. Suponemos grupos independientes y varianzas iguales.

Grupo 1

Tienen las notificaciones del celular activadas.

Grupo 2

Mantienen las notificaciones silenciadas.

Orden de la resta: grupo 1 − grupo 2.

Intenta resolver

Paso 1 · Hipótesis y dirección. Antes de consultar las medias, ¿qué contraste exige la pregunta? Formula \(H_0\) y \(H_A\) con \(\mu_1-\mu_2\).

Ahora consulta los datos: se comparan grupos independientes con varianzas poblacionales supuestas iguales.

Información Valor
Promedio muestral del grupo 1 (\(\bar{x}_1\)) 54
Promedio muestral del grupo 2 (\(\bar{x}_2\)) 64
SE de la diferencia 4
Tamaños y grados de libertad \(n_1=n_2=50\); \(gl=98\)

Fórmulas de apoyo · recordatorio

\[ \hat\Delta=\bar{x}_1-\bar{x}_2 \]

\[ t=\frac{\hat\Delta}{SE_{\hat\Delta}} \]

\[ IC=\hat\Delta\pm(t^*\times SE_{\hat\Delta}) \]

Para el intervalo bilateral, utiliza el crítico positivo que corresponda al nivel de confianza, no necesariamente el de una prueba de una cola.

Paso 2 · Estadístico empírico. Calcula la diferencia grupo 1 − grupo 2 y \(t\). ¿Qué significa su signo?

Paso 3 · \(\alpha\) y crítico. Con \(\alpha=0{,}05\) (fijado previamente), elige los críticos para tu contraste (\(gl=98\)). Identifica también los del 1%.

Paso 4 · Contraste e intervalo. Decide al 5% y compara con el 1%. Construye el IC95% (crítico de dos colas \(1{,}98\), si corresponde) y observa si incluye cero.

Paso 5 · Interpretación. Describe la muestra, concluye sobre los promedios poblacionales y señala el límite causal.

Pistas y pauta

Las hipótesis hablan de promedios poblacionales. Relee «¿existen diferencias?» y decide si la pregunta indica cuál grupo debería tener un promedio mayor.

El signo de \(t\) depende del orden grupo 1 − grupo 2. La región crítica se determina con la pregunta y \(\alpha\), no con el signo observado. Para el intervalo, calcula el margen y aplícalo a ambos lados de la diferencia.

Paso 1 · Hipótesis y dirección. La pregunta busca una diferencia en cualquier sentido: prueba no direccional (dos colas).

\[ H_0:\mu_1-\mu_2=0\qquad H_A:\mu_1-\mu_2\neq0 \]

Paso 2 · Estadístico empírico. Respetando el orden de los grupos:

\[ \hat\Delta=54-64=-10;\qquad t=\frac{-10}{4}=-2{,}5 \]

En la muestra, el grupo con notificaciones activadas presenta 10 puntos menos de concentración autopercibida; \(t\) está 2,5 SE por debajo de cero.

Paso 3 · Regla crítica. El análisis fijó \(\alpha=0{,}05\) antes de observar las medias. Con \(gl=98\), los críticos de dos colas son \(\pm1{,}98\); para la comparación al 1%, \(\pm2{,}63\).

Paso 4 · Contraste e intervalo. Como \(-2{,}5<-1{,}98\), rechazamos \(H_0\) al 5%. Como \(-2{,}5>-2{,}63\), no la rechazamos al 1%.

El intervalo bilateral del 95% tiene margen \(1{,}98\times4=7{,}92\):

\[ IC_{95\%}=[-10-7{,}92;\ -10+7{,}92]=[-17{,}92;\ -2{,}08] \]

No incluye cero, en concordancia con el contraste al 5%.

Paso 5 · Interpretación. «En la muestra, estudiantes con notificaciones activadas registran un promedio 10 puntos menor. Bajo los supuestos, hay evidencia al 5% de una diferencia entre promedios poblacionales. La comparación no demuestra que las notificaciones causen la diferencia».

Revisa: cambiar \(-10\) por \(+10\) altera el orden de los grupos; no rechazar al 1% no equivale a demostrar igualdad.

Ejercicio 3 · Tutorías académicas y confianza ante evaluaciones

Pregunta de investigación

¿El promedio de confianza para enfrentar evaluaciones es mayor entre estudiantes con tutorías académicas que entre estudiantes sin tutorías?

Se estudian 100 estudiantes, 50 por grupo. La confianza académica se mide de 0 a 100; un puntaje alto indica mayor confianza declarada.

Grupo 1

Participan en tutorías académicas.

Grupo 2

No participan en tutorías académicas.

Orden de la resta: grupo 1 − grupo 2.

Intenta resolver

Paso 1 · Hipótesis y dirección. Antes de ver los promedios, ¿qué afirma la pregunta sobre el grupo con tutorías? Formula \(H_0\) y \(H_A\) con \(\mu_1-\mu_2\) y deduce la región de rechazo.

Después de formular las hipótesis, consulta estos datos. Suponemos grupos independientes y varianzas poblacionales iguales.

Información Valor
Promedio muestral del grupo 1 (\(\bar{x}_1\)) 67
Promedio muestral del grupo 2 (\(\bar{x}_2\)) 60
SE de la diferencia 4
Tamaños y grados de libertad \(n_1=n_2=50\); \(gl=98\)

El análisis se planificó con \(lpha=0{,}05\) antes de observar la muestra; los críticos de una cola tienen magnitudes \(1{,}66\) (5%) y \(2{,}37\) (1%).

Fórmulas de apoyo · paso 2

\[ \hat\Delta=\bar{x}_1-\bar{x}_2 \]

\[ t=\frac{\hat\Delta}{SE_{\hat\Delta}} \]

El error estándar de la diferencia ya está incluido en los datos.

Paso 2 · Estadístico empírico. Calcula grupo 1 − grupo 2 y \(t\) con el SE entregado.

Paso 3 · \(\alpha\) y crítico. Establece el signo del crítico y la regla al 5%, sin aplicarla todavía.

Paso 4 · Contraste. Decide al 5% y compara con el 1%.

Paso 5 · Interpretación. Concluye sobre la confianza académica y señala el límite causal.

Resolución guiada

La pregunta investiga si el promedio del grupo 1 es mayor. Con el orden grupo 1 − grupo 2, la alternativa plantea una diferencia poblacional positiva:

\[ H_0:\mu_1-\mu_2\leq0 \]

\[ H_A:\mu_1-\mu_2>0 \]

Es una prueba direccional, de una cola derecha. La nula incluye igualdad y diferencias en sentido contrario. Para calcular t utilizaremos el límite de igualdad, cero; la dirección se decidió por la pregunta, antes de observar las medias.

Restamos las medias y dividimos por el SE ya entregado:

\[ \hat\Delta=67-60=7;\qquad t=\frac{7}{4}=1{,}75 \]

En la muestra, el grupo con tutorías obtuvo 7 puntos más de confianza, y el estadístico está 1,75 errores estándar por encima de cero. Aún falta aplicar la regla crítica.

Con \(\alpha=0{,}05\) establecido previamente y \(gl=98\), el crítico para la cola derecha es +1,66. La regla es rechazar \(H_0\) si \(t>1{,}66\); para la comparación al 1% el crítico es +2,37. No corresponde tomar \(|t|\) en una prueba direccional.

Al 5%, \(1{,}75>1{,}66\): rechazamos \(H_0\). Al 1%, \(1{,}75<2{,}37\): no rechazamos \(H_0\).

Observa la figura: la línea \(t=1{,}75\) supera la frontera +1,66 y cae en la región sombreada de rechazo del 5%.

Figura 4: Prueba direccional derecha de una cola (98 gl): una región de rechazo con α = 0,05; t observado = 1,75.

Conclusión modelo. «En la muestra, estudiantes con tutorías alcanzan un promedio de confianza 7 puntos mayor. Bajo los supuestos, la prueba de una cola derecha aporta evidencia al 5% de un promedio poblacional mayor en ese grupo. La asociación observada no demuestra causalidad».

Un límite unilateral ofrece una frontera de confianza en una dirección. Con los valores redondeados de este caso:

\[ LI=7-(1{,}66\times4)=0{,}36 \]

El intervalo de confianza unilateral inferior al 95% es \([0{,}36;+\infty)\). No equivale a un intervalo bilateral del 95%.

Ejercicio 4 · Trabajo remunerado y tiempo de estudio

Pregunta de investigación

¿El promedio de horas semanales de estudio individual es menor entre estudiantes que trabajan durante el semestre que entre quienes no trabajan?

Se encuestó a 100 estudiantes, 50 por grupo, y se registraron sus horas semanales de estudio individual. Suponemos grupos independientes y varianzas iguales.

Grupo 1

Trabajan durante el semestre.

Grupo 2

No trabajan durante el semestre.

Orden de la resta: grupo 1 − grupo 2.

Intenta resolver

Paso 1 · Hipótesis y dirección. Antes de mirar las medias muestrales, identifica el sentido de la pregunta y formula \(H_0\) y \(H_A\) con promedios poblacionales. ¿Buscamos cualquier diferencia o un promedio menor?

Una vez elegida la dirección, utiliza estos datos para continuar:

Datos disponibles Valor
Promedio muestral del grupo 1 (horas) 11
Promedio muestral del grupo 2 (horas) 15
SE de la diferencia (horas) 2
Tamaños y grados de libertad \(n_1=n_2=50\); \(gl=98\)

Fórmulas de apoyo · paso 2

\[ \hat\Delta=\bar{x}_1-\bar{x}_2 \]

\[ t=\frac{\hat\Delta}{SE_{\hat\Delta}} \]

Paso 2 · Estadístico empírico. Consulta los promedios y el error estándar entregados. Calcula la diferencia grupo 1 − grupo 2 y luego el estadístico \(t\). Interpreta su signo.

Paso 3 · α y valor crítico. El análisis se planificó con \(\alpha=0{,}05\) antes de observar los datos. Para este ejercicio, los críticos de una cola tienen magnitudes 1,66 (5%) y 2,37 (1%). Escribe el signo que corresponde según tu hipótesis, sin comparar todavía.

Paso 4 · Contraste. Aplica la regla y compara el estadístico empírico con el crítico, al 5% y después al 1%.

Paso 5 · Interpretación. Concluye sobre los promedios poblacionales. ¿Por qué los datos no permiten atribuir causalidad al trabajo remunerado?

Pistas y pauta

Si te cuesta elegir la dirección: completa mentalmente «el primer promedio poblacional es ___ que el segundo». Con el orden grupo 1 − grupo 2, ¿esa afirmación significaría una diferencia positiva o negativa? Elige el extremo a partir de esa idea antes de utilizar las medias de la tabla.

Si te cuesta decidir: compara tu t observado con el crítico de esa dirección. Los críticos se ofrecen en magnitud; te corresponde escribir el signo adecuado. No necesitas cambiar la fórmula de t.

Paso 1 · Hipótesis y dirección. La pregunta dice menor y la resta es grupo 1 − grupo 2. La alternativa es negativa: prueba direccional de una cola izquierda.

\[ H_A:\mu_1-\mu_2<0\qquad H_0:\mu_1-\mu_2\geq0 \]

Paso 2 · Estadístico empírico. Restamos en el orden definido:

\[ \hat\Delta=11-15=-4\ \text{horas};\qquad t=\frac{-4}{2}=-2 \]

En la muestra, el promedio de estudio es 4 horas menor entre quienes trabajan; \(t\) está 2 SE por debajo de cero.

Paso 3 · Regla crítica. Se fijó \(\alpha=0{,}05\) previamente. Para una cola izquierda y \(gl=98\), el crítico es −1,66 (y −2,37 al 1%).

Paso 4 · Contraste. Como \(-2<-1{,}66\), rechazamos \(H_0\) al 5%. Como \(-2>-2{,}37\), no rechazamos \(H_0\) al 1%. En una prueba de una cola el signo importa: no podemos cambiar \(-2\) por \(+2\) ni usar sin más su valor absoluto.

Paso 5 · Interpretación. «La muestra presenta un promedio de estudio individual 4 horas menor entre quienes trabajan. La prueba izquierda aporta evidencia al 5% de un promedio poblacional menor, bajo sus supuestos. No demuestra que trabajar cause la diferencia».

Recuerda: no rechazar \(H_0\) al 1% significa evidencia insuficiente para ese criterio, no igualdad comprobada.

Cierre · ¿Qué aprendimos de los cuatro problemas?

La pregunta formulada antes de ver los datos determina el contraste. Si interesa cualquier diferencia, usamos dos colas; si se plantea una dirección, evaluamos el extremo correspondiente. Los cinco pasos son los mismos en los cuatro problemas.

Observa el esquema: izquierda corresponde a «primer promedio menor»; derecha, a «primer promedio mayor». En ambas situaciones usamos la resta grupo 1 − grupo 2.

Pregunta previa Hipótesis alternativa Región de rechazo al 5% (\(gl=98\))
¿Son diferentes? \(\mu_1-\mu_2\neq0\) \(t<-1{,}98\) o \(t>1{,}98\)
¿Es mayor el primero? \(\mu_1-\mu_2>0\) \(t>1{,}66\)
¿Es menor el primero? \(\mu_1-\mu_2<0\) \(t<-1{,}66\)

Pregunta de salida. Una investigación pregunta si dos promedios son diferentes. Después de observar la muestra, el promedio del grupo 1 resulta menor. ¿Sería correcto cambiar a una prueba de una cola izquierda porque la diferencia observada es negativa? ¿Por qué?

No. La pregunta inicial era no direccional: corresponde una prueba de dos colas. El signo negativo describe la diferencia muestral, pero no autoriza a elegir retrospectivamente la dirección que favorece el resultado. Eso alteraría las propiedades del contraste.

Dos ideas para cerrar: no rechazar \(H_0\) no demuestra igualdad; una diferencia estadísticamente significativa no implica causalidad.

Error tipo I: rechazar una \(H_0\) verdadera; \(\alpha=0{,}05\) controla la tasa nominal de este error bajo los supuestos del procedimiento.

Error tipo II: no rechazar \(H_0\) cuando una alternativa es verdadera. Ni \(\alpha\) ni el valor p expresan la probabilidad posterior de que \(H_0\) sea verdadera.