Estadística Correlacional

Inferencia, asociación, y reporte

Juan Carlos Castillo
Sociología FACSO - UChile
2do Sem 2026

correlacional.metodos-facso.org


Sesión 9:

Inferencia en correlación y magnitud del coeficiente

Lecturas

  • Pardo 307 - 330 Relación lineal

  • Huck 183 - 203 Statistical Inferences Concerning Bivariate Correlation Coefficients

1. Resumen sesión anterior

2. Inferencia en correlación

3. Magnitud del coeficiente de correlación


id educ ing
1 2 1
2 3 3
3 4 3
4 4 5
5 5 4
6 7 7
7 8 9
8 8 11

Varianzas

Educación

Ingreso

Nube de puntos

Covarianza

Varianza educación (x)

\[\sigma_{edu}^{2}={\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\bar{x})^{2}\over {N - 1}}\] \[\sigma_{edu}^{2}={\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\bar{x})(x_{i}-\bar{x})\over {N - 1}}\]

Varianza ingreso (y)

\[\sigma_{ing}^{2}={\sum_{i=1}^{N}(y_{i}-\bar{y})^{2}\over {N - 1}}\] \[\sigma_{ing}^{2}={\sum_{i=1}^{N}(y_{i}-\bar{y})(y_{i}-\bar{y})\over {N - 1}}\]

\[Covarianza=cov(x,y) = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})} {N-1}\]

Covarianza

  • valor numérico que refleja la asociación entre dos variables

  • el signo indica si la asociación es positiva o negativa

  • valor no interpretable directamente, depende de valores de cada variable

Correlación

  • valor numérico que refleja la asociación entre dos variables

  • el signo indica si la asociación es positiva o negativa

  • rango de variación fijo entre -1 y +1, interpretable en términos de magnitud

Cálculo correlación

educ ing dif_m_educ2 dif_m_ing2 dif_xy
2 1 9.77 19.14 13.67
3 3 4.52 5.64 5.05
4 3 1.27 5.64 2.67
4 5 1.27 0.14 0.42
5 4 0.02 1.89 0.17
7 7 3.52 2.64 3.05
8 9 8.27 13.14 10.42
8 11 8.27 31.64 16.17

\[r=\frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x-\bar{x})^{2} \sum(y-\bar{y})^{2}}}\]

sum(data$dif_xy)
[1] 51.625
sum(data$dif_m_educ2)
[1] 36.875
sum(data$dif_m_ing2)
[1] 79.875

Cálculo correlación

\[ \begin{align*} r &= \frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x-\bar{x})^{2} \sum(y-\bar{y})^{2}}} \\ \\ &= \frac{51.625}{ \sqrt{36.875*79.875}} \\ \\ &= \frac{51.625}{54.271} \\ \\ &= 0.951 \end{align*} \]

En R:

cor(data$educ,data$ing)
[1] 0.9512367

Interpretación

  • El coeficiente de correlación (de Pearson) es una medida de asociación lineal entre variables, que indica el sentido y la fuerza de la asociación

  • Varía entre +1 y -1, donde

    • valores positivos indican relación directa (aumenta una, aumenta la otra)

    • valores negativos indican relación inversa (aumenta una, disminuye la otra)

Nubes de puntos (scatterplot) y correlación

1. Resumen sesión anterior

2. Inferencia en correlación

3. Magnitud del coeficiente de correlación

Datos

Simulamos dos variables: edad, y puntaje en escala de izquierda (1) - derecha (10):

edad <-c(18,25,40,55,70, 82)
iz_der <-c(5,4,5,9,5,7)
cor(edad,iz_der)
[1] 0.5070278

plot1 <- ggplot(,
  aes(x=edad, y=iz_der)) +
  geom_point(
    colour = "red",
    size = 5) +
  theme(text =
    element_text(size = 20))

Prueba de hipótesis de correlación

1. Formulación de hipótesis

Siendo \(\rho\) (rho) la correlación \(r\) en la población:

\[H_0: \rho = 0\] \[H_a: \rho \neq 0\]

La hipótesis de correlación refiere a asociación, no a explicación ni a causalidad

Prueba de hipótesis de correlación

2. Error estándar y estadístico de prueba (\(t\))

\[ \begin{align*} SE_r=&\sqrt{\frac{1-r²}{n-2}} \\\\ =&\sqrt{\frac{1-0.257}{6-2}} \\\\ =&\sqrt{\frac{0.743}{4}}=\sqrt{0.186}=0.431 \end{align*} \]

\[ \begin{align*} t_r&=\frac{r}{SE_r} \\\\ &=\frac{0.51}{0.431} \\\\ &=1.18 \end{align*} \]

Prueba de hipótesis de correlación

3. Probabilidad de error y valor crítico para \(t\)

  • para un nivel de error \(\alpha=0.05\)

  • y una hipótesis de diferencia de dos colas: \(\alpha/2=[0.025-0.975]\)

  • grados de libertad N-2= 6-2 = 4

qt(p=.05/2,
   df=4,
   lower.tail=FALSE) # bidireccional
[1] 2.776445

Prueba de hipótesis de correlación

4. Contraste de valores empírico y crítico

  • Contraste: \(t_{r}=1.18 < t_{cri}=2.77\)

5. Interpretación

Nuestro t estimado es menor que el valor t crítico para un 95% de confianza, por lo tanto no rechazamos la hipótesis nula. No existe evidencia en nuestros datos para afirmar que la correlación entre la escala izquierda-derecha y edad es distinta de cero en la población.

En R

cor.test(iz_der,edad)

    Pearson's product-moment correlation

data:  iz_der and edad
t = 1.1765, df = 4, p-value = 0.3046
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -0.5174601  0.9341863
sample estimates:
      cor 
0.5070278

Algunas consideraciones

a) ¿Por qué usamos la prueba t?

La prueba \(t\) la conocemos originalmente para contrastar diferencias de medias:

\[t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{SE_{\bar{x}}}\]

Su lógica es general: siempre compara un estimador con un valor hipotetizado, en unidades de su error estándar

\[t=\frac{\text{estimador} - \text{valor hipotetizado}}{SE_{\text{estimador}}}\]

a) ¿Por qué usamos la prueba t?

Esta misma lógica se extiende al coeficiente de correlación, reemplazando el estimador por \(r\) (y el valor hipotetizado por 0):

\[t_r=\frac{r-0}{SE_r}=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^{2}}}\]

El coeficiente \(r\) se calcula a partir de una muestra, por lo que su error estándar poblacional es desconocido y debe estimarse de los datos, tal como ocurre con el promedio

Esa incertidumbre adicional es la que modela la distribución \(t\), según los grados de libertad disponibles (\(n-2\))

Con muestras grandes, \(t\) se aproxima a la normal (\(z\))

b) Base estadística del error estándar

\[SE_r=\sqrt{\frac{1-r^{2}}{n-2}}\]

  • \(1-r^{2}\): proporción de varianza no explicada por la asociación entre las variables

    • mientras más fuerte la correlación, menor el error estándar

  • \(n-2\): grados de libertad disponibles, descontando los dos parámetros estimados (pendiente e intercepto de la recta que relaciona las variables)

    • a mayor tamaño muestral, menor el error estándar y mayor la certeza de la estimación

c) Intervalos de confianza en correlación

  • El coeficiente \(r\) no se distribuye de forma normal, especialmente cuando su valor se acerca a \(\pm1\)

  • Al estar limitado entre valores (-1 y 1), en la medida que se acerca a |1| , la distribución se vuelve asimétrica y sesgada

c) Intervalos de confianza en correlación

Solución: la transformación z de Fisher, que normaliza la distribución de \(r\)

\[z'=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+r}{1-r}\right)\] \[SE_{z'}=\frac{1}{\sqrt{n-3}}\]

Se construye el intervalo en la escala \(z'\) y luego se transforma de vuelta a la escala de \(r\):

\[r=\frac{e^{2z}-1}{e^{2z}+1}\]

r <- cor(edad, iz_der)
n <- length(edad)
z <- atanh(r)
se_z <- 1/sqrt(n-3)
crit <- qnorm(0.975)
ci_z <- z + c(-1,1)*crit*se_z
tanh(ci_z)
[1] -0.5174601  0.9341863

c) Intervalos de confianza en correlación

En R, cor.test() entrega directamente el intervalo de confianza (ya calculado con la transformación de Fisher):

cor.test(iz_der, edad)$conf.int
[1] -0.5174601  0.9341863
attr(,"conf.level")
[1] 0.95

Interpretación: con un 95% de confianza, el verdadero valor de la correlación poblacional entre edad y orientación izquierda-derecha se encuentra en este intervalo, el cual incluye el cero, consistente con la prueba de hipótesis anterior

1. Resumen sesión anterior

2. Inferencia en correlación

3. Magnitud del coeficiente de correlación

Si dos variables covarían, entonces comparten varianza

¿Cuánta varianza comparten?

Estableciendo la varianza compartida

La varianza compartida puede pensarse como 1 - la varianza no compartida (o varianza única)

La varianza no compartida se asocia al concepto de residuos, es decir, la cantidad de varianza que no está contenida en la correlación

Estableciendo la varianza compartida

Para poder obtener los residuos vamos a generar una recta que represente la asociación entre las variables. Esta es la recta de regresión 1

Esta recta nos permite obtener un valor estimado de \(y\) para cada valor de \(x\)


[1] Detalles próximo semestre

reg1 <- lm(ing ~ educ, data=data)
data$predict <-predict.lm(reg1)

plot2 <-ggplot(data,
  aes(x=educ, y=predict)) +
  geom_point(
    colour = "red",
    size = 5) +
  theme(text =
    element_text(size = 20))+
  stat_smooth(method = "lm",
    se = FALSE, fullrange = T)
plot2

\[ \begin{align*} SS_{tot}&=SS_{reg} + SS_{error} \\ \Sigma(y_i - \bar{y})^2&=\Sigma (\hat{y}_i-\bar{y})^2 +\Sigma(y_i-\hat{y}_i)^2 \end{align*} \]

Varianza compartida

\[SS_{tot}=SS_{reg} + SS_{error}\]

\[\frac{SS_{tot}}{SS_{tot}}=\frac{SS_{reg}}{SS_{tot}} + \frac{SS_{error}}{SS_{tot}}\]

\[1=\frac{SS_{reg}}{SS_{tot}}+\frac{SS_{error}}{SS_{tot}}\]

\[\frac{SS_{reg}}{SS_{tot}}= 1- \frac{SS_{error}}{SS_{tot}}=R^2\]

¿Qué relación tienen \(R^2\) y \(r\) (correlación)?

\(R^2=r^2\)

Por lo tanto, en nuestro ejemplo:

cor(edad,iz_der)
[1] 0.5070278
cor(edad,iz_der)^2
[1] 0.2570772

\[ \begin{align*} R^2&= 0.25 \end{align*} \]

Interpretación:

El porcentaje de varianza compartida entre edad y orientación izquierda-derecha es de 25%.

Es decir, ambas variables comparten el 25% de su varianza

\(R^2\) o coeficiente de determinación

  • ¿Cuánto de los ingresos se asocia a educación, y viceversa?

  • el \(R^2\)

    • es la proporción de la varianza de Y que se asocia a X

    • varía entre 0 y 1, y usualmente se expresa en porcentaje

Tamaños de efecto

  • El coeficiente de correlación \(r\) de Pearson nos indica la dirección y la fuerza/intensidad de la asociación.

  • Pero, ¿qué nos dice el tamaño del coeficiente? Por ejemplo, si el coeficiente es 0.5, ¿esto es pequeño, mediano o grande?

  • Cohen (1988, 1992) sugiere una serie de criterios convencionales para clasificar efectos como pequeños, medianos o grandes.

Criterios de Cohen

  • tamaño de efecto pequeño: alrededor de 0.10

  • tamaño de efecto mediano: alrededor de 0.30

  • tamaño de efecto grande: alrededor de 0.50 y más

Resumen

  • Inferencia en correlación: contraste con valor crítico t

  • Coeficiente de determinación \(R^2\): varianza compartida entre variables

  • Tamaño de efecto: valores convencionales para establecer si una magnitud es pequeña, mediana o grande.



Estadística Correlacional

Inferencia, asociación, y reporte

Juan Carlos Castillo
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