Prueba t: hipótesis y direccionalidad

Sesión del miércoles, 26 de agosto de 2026

1 Retomemos el ejercicio anterior: ¿qué nos dicen realmente los resultados?

En el práctico anterior dejamos un ejercicio para trabajar de manera autónoma:

¿Es el ingreso laboral promedio de las mujeres con hijos distinto al ingreso laboral promedio de las mujeres sin hijos?

En este ejercicio queremos comparar los ingresos de ambos grupos. Pero antes de realizar la prueba debemos distinguir entre lo que observamos en nuestra muestra y lo que queremos afirmar sobre la población.

Si encontramos una diferencia entre los dos grupos en nuestra muestra, ¿significa que esa diferencia también existe en la población?

No necesariamente.

Si seleccionáramos otra muestra de mujeres ocupadas, probablemente obtendríamos promedios algo distintos debido a la variabilidad muestral.

Por eso debemos distinguir:

Descripción: ¿qué diferencia observamos en nuestra muestra?
Inferencia: ¿qué evidencia nos entrega esa muestra sobre una posible diferencia en la población?

1.1 Carguemos los datos

Trabajaremos nuevamente con un subconjunto procesado de la Encuesta CASEN 2022.

Primero cargamos la base:

load(
  url(
    "https://github.com/cursos-metodos-facso/datos-ejemplos/raw/main/proc_casen.RData"
  )
)

Ahora conservaremos las variables necesarias, seleccionaremos inicialmente 1.500 mujeres ocupadas y luego trabajaremos con los casos que tengan información completa en las variables utilizadas.

# Fijamos una semilla para obtener siempre la misma muestra aleatoria
set.seed(123)

# Creamos una base con las variables que necesitamos
goldin_data <- proc_casen |>
  dplyr::select(
    ocupado,
    sexo,
    ytrabajocor,
    hijo
  ) |>

# Conservamos solo a las mujeres ocupadas
  dplyr::filter(
    ocupado == 1,
    sexo == 2
  ) |>

# Seleccionamos aleatoriamente 1.500 casos
  dplyr::sample_n(1500)


# Eliminamos los casos con información faltante
goldin_data <- na.omit(goldin_data)

Para facilitar la lectura, reemplazaremos los códigos de la variable hijo por etiquetas.

goldin_data$grupo_hijo <- factor(
  goldin_data$hijo,
  levels = c(0, 1),
  labels = c(
    "Sin hijos",
    "Con hijos"
  )
)

1.2 Primero observemos nuestra muestra

Antes de realizar una prueba estadística, veamos qué encontramos descriptivamente.

goldin_data |>
  # Separamos los datos según si tienen o no hijos
  dplyr::group_by(grupo_hijo) |>
  # Calculamos el tamaño del grupo, la media y la desviación estándar
  dplyr::summarise(
    N = dplyr::n(),
    Media = mean(ytrabajocor),
    SD = sd(ytrabajocor)
  )

# A tibble: 2 × 4
  grupo_hijo     N   Media      SD
  <fct>      <int>   <dbl>   <dbl>
1 Sin hijos    353 706114. 830191.
2 Con hijos   1098 590848. 638007.

Observe los resultados:

¿Qué grupo presenta el ingreso promedio más alto?

¿Las medias de los dos grupos son iguales?

En nuestra muestra observamos que los promedios son diferentes.

Hasta aquí solamente estamos describiendo la muestra.

Ahora aparece nuestra pregunta inferencial:

¿Esta diferencia entrega evidencia suficiente para pensar que también existe una diferencia en la población?

1.3 Planteemos nuestras hipótesis

Para responder necesitamos establecer un escenario de referencia.

1.3.1 Hipótesis nula: $H_0$

En la población, no existen diferencias en el ingreso laboral promedio entre mujeres sin hijos y mujeres con hijos.

\[ H_0: \mu_{\text{sin hijos}} - \mu_{\text{con hijos}} = 0 \]

1.3.2 Hipótesis alternativa: $H_A$

En la población, existen diferencias en el ingreso laboral promedio entre mujeres sin hijos y mujeres con hijos.

\[ H_A: \mu_{\text{sin hijos}} - \mu_{\text{con hijos}} \neq 0 \]

El valor 0 representa nuestro escenario de referencia: que las dos medias poblacionales no presentan diferencias.

Este es el escenario planteado por $H_0$: lo utilizamos como referencia y evaluamos si los datos entregan evidencia suficiente para rechazarlo..

La pregunta será entonces:

¿La diferencia que observamos en nuestra muestra es suficientemente grande, considerando su variabilidad, como para cuestionar este escenario?

1.4 ¿Qué hace la prueba t?

No basta con saber cuánto difieren las medias. También necesitamos considerar la incertidumbre de esa diferencia.

La idea central de la prueba puede representarse así:

\[ t \approx \frac{\text{diferencia observada}} {\text{incertidumbre de la diferencia}} \]

El estadístico t nos indica qué tan grande es la diferencia observada en relación con su incertidumbre.

La idea detrás de t

Cuanto más alejado de 0 se encuentre $|t|$, más extremo es el resultado respecto del escenario de diferencia igual a 0 planteado por $H_0$.

1.5 Realicemos la prueba t

Recordemos que nuestra pregunta es:

¿Los ingresos promedio de ambos grupos son distintos?

La pregunta busca saber si existe una diferencia, pero no establece de antemano cuál de los dos grupos debería tener un promedio mayor. Por lo tanto, nos interesa detectar una diferencia en cualquiera de las dos direcciones.

Por eso utilizamos una prueba t de dos colas.

En R lo indicamos mediante:

alternative = "two.sided"

Antes de observar los resultados, utilizaremos \[\alpha = .05\] como nuestro criterio de decisión. Si obtenemos \[p < .05\], consideraremos que existe evidencia suficiente para rechazar \[H_0\].

Ejecutemos la prueba:

# Realizamos una prueba t de dos colas
test_goldin <- t.test(
  ytrabajocor ~ grupo_hijo,
  data = goldin_data,
  alternative = "two.sided"
)

# Mostramos el resultado completo de la prueba
test_goldin

Ahora presentaremos los resultados en una tabla más sencilla de leer.

# Ordenamos los resultados en una tabla
stats.table <- broom::tidy(
  test_goldin,
  conf.int = TRUE
)

# Presentamos la tabla en un formato más fácil de leer
rempsyc::nice_table(
  stats.table,
  broom = "t.test"
)

Method	Alternative	Mean 1	Mean 2	M1 - M2	t	df	p	95% CI
Welch Two Sample t-test	two.sided	706,113.65	590,847.70	115,265.96	2.39	492.66	.017*	[20564.30, 209967.62]

No necesitamos interpretar todas las columnas al mismo tiempo. Vamos a leerlas siguiendo el razonamiento de nuestra prueba.

1.5.1 1. ¿Qué diferencia observamos?

Recuerde el orden de los grupos:

Mean 1 = mujeres sin hijos.
Mean 2 = mujeres con hijos.
M1 - M2 = diferencia entre ambos promedios:

\[ \text{Sin hijos} - \text{Con hijos} \]

En nuestra muestra:

las mujeres sin hijos presentan un ingreso promedio de aproximadamente $706.114;
las mujeres con hijos presentan un ingreso promedio de aproximadamente $590.848;
la diferencia entre ambos grupos es de aproximadamente $115.266.

¿Qué grupo presenta el promedio mayor?

Hasta aquí seguimos describiendo lo que ocurrió en nuestra muestra.

1.5.2 2. ¿Qué nos dice t?

Ahora observe la columna t.

Como vimos antes, este estadístico resume qué tan grande es la diferencia observada respecto de su incertidumbre.

En este caso:

\[ t=2.39 \]

¿El valor de $|t|$ se encuentra cerca o lejos de 0?

La columna df muestra los grados de libertad utilizados por la prueba. R los calcula automáticamente.

1.5.3 3. ¿Qué nos dice el valor p?

Observe ahora la columna p.

El valor p nos ayuda a evaluar qué tan compatible es nuestro resultado con el escenario planteado por $H_0$.

La pregunta que responde es:

Si $H_0$ fuera cierta, ¿qué tan inusual sería obtener un resultado como el observado o uno más extremo?

La idea es sencilla:

un valor p grande indica que nuestro resultado no sería especialmente extraño si $H_0$ fuera cierta;
un valor p pequeño indica que nuestro resultado sería poco frecuente bajo $H_0$ y, por lo tanto, entrega evidencia para cuestionarla.

Para decidir qué consideraremos suficientemente pequeño, antes de realizar la prueba establecemos un nivel de significación, este valor funciona como nuestro criterio de comparación:

\[ \alpha=.05 \]

si el valor p es menor que .05, consideramos que el resultado sería poco frecuente si $H_0$ fuera cierta;
si el valor p es mayor que .05, no tenemos evidencia suficiente para cuestionar $H_0$.

Ahora observe su resultado: ¿el valor p es menor o mayor que .05?

En nuestra prueba obtuvimos:

\[ p=.017 \]

Como .017 es menor que .05, el resultado observado sería poco frecuente bajo el escenario planteado por $H_0$.

Por lo tanto, el valor p entrega evidencia en contra de $H_0$.

Cuidado con la interpretación de p

El valor p no es la probabilidad de que $H_0$ sea verdadera.

Por ejemplo, si obtenemos $p=.017$, esto no significa que exista un 1,7 % de probabilidad de que $H_0$ sea verdadera.

Significa que, si $H_0$ fuera cierta, un resultado como el observado (o uno más extremo) sería poco frecuente.

1.5.4 Veamos esta evidencia gráficamente

Distribución t de referencia y estadístico t observado.

La curva representa los valores de t que podríamos observar si $H_0$ fuera cierta.

Los valores próximos a 0 son más compatibles con ese escenario, mientras que los valores extremos son menos compatibles.

¿Nuestro estadístico t se encuentra en una zona central o en una zona extrema?

1.5.5 4. ¿Qué nos dice el intervalo de confianza?

Finalmente observe la columna 95% CI.

Recordemos que $H_0$ plantea una diferencia igual a 0.

Por eso preguntamos:

¿El intervalo de confianza del 95% incluye el valor 0?

En nuestro resultado, el intervalo va aproximadamente desde $20.564 hasta $209.968.

El intervalo no contiene 0.

Por lo tanto, una diferencia poblacional igual a 0 no se encuentra entre los valores compatibles con los datos a este nivel de confianza.

1.6 Juntemos la evidencia

Ahora reunamos los distintos elementos de la prueba.

Resultado	¿Qué nos permite evaluar?
`M1 - M2`	Cuánto difieren los promedios en nuestra muestra
t	Qué tan grande es esa diferencia respecto de su incertidumbre
p	Qué tan inusual sería el resultado bajo $H_0$
IC 95%	Si una diferencia poblacional igual a 0 sigue siendo compatible con los datos

Todos estos elementos nos ayudan a responder una misma pregunta:

¿Tenemos evidencia suficiente para sostener que la diferencia observada en la muestra refleja una diferencia en la población?

En nuestro resultado:

observamos una diferencia entre los promedios;
$|t|=2.39$;
$p=.017<.05$;
el IC del 95% no contiene 0.

Estos resultados son coherentes entre sí.

Por lo tanto:

Con $\alpha=.05$, rechazamos $H_0$.

1.7 Volvamos a nuestra pregunta

¿Es el ingreso laboral promedio de las mujeres con hijos distinto al ingreso laboral promedio de las mujeres sin hijos?

Ya tomamos una decisión estadística. Ahora podemos expresarla en términos de nuestra pregunta.

1.7.1 ¿Qué observamos en la muestra?

En nuestra muestra, las mujeres sin hijos presentan un ingreso laboral promedio mayor que las mujeres con hijos, con una diferencia aproximada de $115.266.

Esta es nuestra conclusión descriptiva: señala lo que observamos en los datos analizados.

1.7.2 ¿Qué podemos decir sobre la población?

Los datos entregan evidencia de que el ingreso laboral promedio difiere entre las mujeres ocupadas con hijos y las mujeres ocupadas sin hijos.

Esta es nuestra conclusión inferencial: la diferencia ya no se refiere solamente a los promedios observados en la muestra, sino a la evidencia que esa muestra entrega sobre una diferencia poblacional.

¿Qué no podemos concluir?

Encontrar una diferencia entre ambos grupos no significa que tener hijos sea la causa de esa diferencia en los ingresos.

La prueba identifica una diferencia entre grupos, pero no permite establecer una relación causal.

1.8 El camino que seguimos en una prueba t de dos colas

Paso	Pregunta que fuimos respondiendo
1. Pregunta	¿Los promedios de los dos grupos son diferentes?
2. Muestra	¿Qué diferencia observamos entre sus medias?
3. Hipótesis	¿Qué plantea $H_0$ sobre la diferencia poblacional?
4. Evidencia	¿Qué nos dicen t, p y el IC?
5. Conclusión	¿Tenemos evidencia de una diferencia en la población?

En este ejercicio buscamos una diferencia sin especificar de antemano cuál grupo debía presentar el promedio mayor. Por eso utilizamos una prueba t de dos colas.

2 ¿Diferentes o uno mayor que otro? La dirección en la prueba t

Hasta ahora preguntamos:

¿Los ingresos promedio de las mujeres con y sin hijos son distintos?

Ahora haremos una pregunta más específica:

¿Las mujeres sin hijos tienen un ingreso laboral promedio mayor que las mujeres con hijos?

Los datos y los grupos son los mismos.

Lo que cambió fue la pregunta.

2.1 ¿“Distinto” y “mayor” significan lo mismo?

Pensemos en dos situaciones posibles.

Situación 1. Las mujeres sin hijos presentan un ingreso promedio mayor que las mujeres con hijos.

¿Este resultado apoyaría nuestra nueva pregunta?

Sí.

Situación 2. Las mujeres con hijos presentan un ingreso promedio mayor que las mujeres sin hijos.

¿Este resultado también la apoyaría?

No. Los grupos serían diferentes, pero la diferencia ocurriría en la dirección contraria.

Importante

Cuando preguntábamos si los grupos eran distintos, ambas direcciones podían ser relevantes.

Ahora preguntamos si un grupo es mayor que el otro: la dirección importa.

2.2 ¿Qué signo esperamos en la diferencia?

Nuestra pregunta es:

¿Las mujeres sin hijos tienen un ingreso laboral promedio mayor que las mujeres con hijos?

Antes de formular las hipótesis, recordemos qué estamos comparando:

Mean 1 = Sin hijos
Mean 2 = Con hijos

Por lo tanto, la diferencia se calcula como:

\[ M1-M2 = \text{Sin hijos} - \text{Con hijos} \]

Si Mean 1 tiene un promedio mayor que Mean 2, esperamos que esta resta sea positiva:

\[ M1-M2>0 \]

Esta es la dirección que plantea nuestra pregunta.

2.3 ¿Cómo formulamos nuestras hipótesis?

Hasta ahora hemos expresado nuestra pregunta en palabras:

¿Las mujeres sin hijos tienen un ingreso laboral promedio mayor que las mujeres con hijos?

Ahora queremos expresar esa misma idea como una hipótesis estadística sobre la población.

La lógica es la misma que acabamos de utilizar con la diferencia entre las medias:

Si el primer grupo tiene un promedio mayor que el segundo, la diferencia Sin hijos − Con hijos debería ser positiva.

2.3.1 De la pregunta a $H_A$

Primero escribimos qué medias poblacionales queremos comparar:

\[ \mu_{\text{sin hijos}} - \mu_{\text{con hijos}} \]

Ahora incorporamos la dirección planteada por nuestra pregunta.

Como esperamos que el promedio de las mujeres sin hijos sea mayor:

\[ \mu_{\text{sin hijos}} - \mu_{\text{con hijos}} >0 \]

¿Por qué aparece > 0?

Porque si a un número mayor le restamos uno menor, obtenemos un resultado positivo. Por ejemplo:

\[ 700-600=100>0 \]

La misma lógica se aplica a nuestra pregunta: “mayor” se traduce en una diferencia positiva.

Por lo tanto, nuestra hipótesis alternativa es:

\[ H_A: \mu_{\text{sin hijos}} - \mu_{\text{con hijos}} >0 \]

$H_A$ expresa justamente la dirección que queremos evaluar: que la diferencia poblacional sea positiva.

2.3.2 ¿Y qué plantea $H_0$?

La hipótesis nula reúne los escenarios que no muestran la diferencia positiva planteada por $H_A$:

\[ H_0: \mu_{\text{sin hijos}} - \mu_{\text{con hijos}} \leq0 \]

Esto incluye dos posibilidades:

diferencia igual a 0 → los promedios son iguales;
diferencia menor que 0 → el promedio de las mujeres sin hijos es menor.

Así, nuestras hipótesis quedan enfrentadas de esta forma:

\[ H_A: \mu_{\text{sin hijos}} - \mu_{\text{con hijos}} >0 \]

\[ H_0: \mu_{\text{sin hijos}} - \mu_{\text{con hijos}} \leq0 \]

Si la diferencia es positiva, apunta en la dirección planteada por $H_A$.

Si es cero o negativa, no apunta en esa dirección.

Podemos quedarnos con una regla sencilla:

Para formular una hipótesis direccional

Identifique qué grupo aparece primero.
Escriba la diferencia entre los grupos.
Pregúntese qué signo debería tener esa diferencia según la pregunta.
Exprese esa dirección en $H_A$.

Primero entendemos qué afirma la pregunta; después escribimos la diferencia y recién entonces decidimos el signo de la hipótesis.

Ya sabemos qué dirección establece nuestra hipótesis. Ahora veamos cómo esa misma dirección aparece en el estadístico t.

2.4 ¿Qué signo esperamos en t?

Nuestra hipótesis plantea una diferencia positiva:

\[ H_A: \mu_{\text{sin hijos}} - \mu_{\text{con hijos}} >0 \]

Si la diferencia observada ocurre en esa misma dirección, esperamos que el estadístico t también sea positivo.

El signo de t conserva la dirección de la diferencia:

t positivo → Mean 1 > Mean 2;
t negativo → Mean 1 < Mean 2.

Por lo tanto:

\[ M1-M2>0 \Rightarrow t>0 \]

En nuestro caso:

\[ \text{Sin hijos > Con hijos} \Rightarrow M1-M2>0 \Rightarrow t>0 \]

Pero hay una distinción importante:

No basta con que t sea positivo: también debe ser suficientemente extremo.

Un valor positivo nos indica que el resultado apunta en la dirección de $H_A$, pero todavía debemos evaluar si entrega evidencia suficiente para cuestionar $H_0$.

2.5 ¿Por qué ahora hablamos de una cola?

En una prueba de dos colas considerábamos resultados extremos en ambas direcciones.

Ahora nuestra hipótesis alternativa establece una dirección específica.

Por lo tanto, debemos concentrarnos en los resultados extremos que ocurren hacia esa dirección.

Por eso utilizaremos una prueba t de una cola.

2.6 ¿Cómo indicamos esta dirección en R?

Ya establecimos la dirección de nuestra hipótesis.

Ahora podemos expresarla en R:

test_una_cola <- t.test(
  ytrabajocor ~ grupo_hijo,
  data = goldin_data,
  alternative = "greater"
)

La parte nueva es:

alternative = "greater"

"greater" significa:

Mean 1 > Mean 2

Como en nuestra comparación:

Mean 1 = Sin hijos
Mean 2 = Con hijos

"greater" representa la misma dirección que establecimos en $H_A$.

Observemos ahora el resultado de la prueba:

Código

stats_una_cola <- broom::tidy(
  test_una_cola,
  conf.int = TRUE
)

rempsyc::nice_table(
  stats_una_cola,
  broom = "t.test"
)

Method	Alternative	Mean 1	Mean 2	M1 - M2	t	df	p	95% CI
Welch Two Sample t-test	greater	706,113.65	590,847.70	115,265.96	2.39	492.66	.009**	[35835.71, Inf]

2.7 ¿Cuándo t es suficientemente extremo?

Ya conocemos nuestro t observado. Ahora veamos dónde se encuentra respecto de los valores que consideraríamos suficientemente extremos.

El mismo estadístico t observado en una prueba de dos colas y una prueba de una cola.

En los dos gráficos el t observado es el mismo 2.39.

Lo que cambia es dónde ubicamos la región de rechazo:

en la prueba de dos colas, $\alpha=.05$ se reparte entre ambos extremos;
en la prueba de una cola, ese 5 % se concentra en la dirección planteada por $H_A$.

Al cambiar la región de rechazo, también cambia el valor crítico.

El valor crítico

El valor crítico funciona como una frontera de decisión: indica qué tan extremo debe ser nuestro t observado para entrar en la región de rechazo de $H_0$. Este límite depende de α, de los grados de libertad y de si la prueba considera una o dos colas.

Ahora concentremos la atención en la prueba de una cola:

¿Nuestro t observado cruza el valor crítico en la dirección de $H_A$, y entra en la región de rechazo? ¿Consideramos que el resultado es suficientemente extremo para rechazar $H_0$?

En nuestra prueba hacia la derecha:

\[ t_{\text{observado}} > t_{\text{crítico}} \Rightarrow \text{región de rechazo} \]

En nuestro caso, el t observado sí supera el valor crítico.

Por lo tanto:

El resultado entra en la región de rechazo y tenemos evidencia para rechazar la $H_0$ con $\alpha=.05$.

2.8 ¿Por qué cambia p si t no cambió?

Comparemos directamente ambas pruebas:

Prueba	t	p
Dos colas	2.39	0.01716
Una cola	2.39	0.00858

El valor de t permaneció igual, pero el valor p cambió. ¿Por qué?

El t no cambia porque estamos trabajando con los mismos datos y la misma diferencia observada.

Lo que cambia es qué resultados consideramos para calcular el valor p.

En una prueba de dos colas, contamos resultados tan extremos como el observado o más extremos en ambas direcciones:

\[ p = \text{extremo izquierdo} + \text{extremo derecho} \]

En nuestra prueba de una cola hacia la derecha, solo contamos resultados tan extremos o más extremos en la dirección planteada por $H_A$:

\[ p = \text{extremo derecho} \]

Por eso, en nuestro caso, el área considerada es menor y el valor p también es menor.

El t no se hizo más pequeño. Se hizo más pequeña la región de la distribución que utilizamos para calcular p.

Importante

No transformamos manualmente el valor p.

Primero formulamos $H_A$ y después especificamos esa dirección en t.test().

Además, una prueba de una cola no produce siempre un valor p menor: esto ocurre aquí porque el t observado está en la misma dirección planteada por $H_A$.

¿Qué nos dice ahora el intervalo de confianza?

Como nuestra hipótesis plantea una dirección, el intervalo de confianza también es unilateral:

Por eso R entrega un intervalo de la forma:

\[ [\text{límite inferior},\ \text{Inf}] \]

Aquí lo importante es observar el límite inferior.

En nuestro resultado, el límite inferior es mayor que 0. Por lo tanto, el intervalo queda completamente del lado positivo, en la dirección planteada por $H_A$.

Por lo tanto, el intervalo entrega evidencia para poner en duda $H_0$ y es coherente con la hipótesis de que el ingreso promedio de las mujeres sin hijos es mayor.

Nota

Inf no significa que la diferencia pueda ser “infinita”. Aparece porque, en esta prueba direccional, estamos estableciendo un límite inferior y no un límite superior.

Conclusión

Con \[\alpha = .05\] rechazamos $H_0$. Los datos entregan evidencia de que el ingreso laboral promedio de las mujeres sin hijos es mayor que el de las mujeres con hijos.

2.9 ¿Qué cambió y qué permaneció igual?

Ahora podemos reunir todo lo que observamos al pasar de una prueba de dos colas a una prueba de una cola.

Lo importante es recordar que no cambiamos los datos. Seguimos comparando a las mismas mujeres, con las mismas medias y la misma diferencia observada.

Lo que cambió fue la pregunta que queremos responder.

Podemos verlo como dos niveles diferentes.

2.9.1 Lo que proviene de los datos

Los datos determinan:

las medias de los grupos;
la diferencia M1 - M2;
el estadístico t;
los grados de libertad.

Como los datos son exactamente los mismos, estos elementos no cambian.

2.9.2 Lo que depende de nuestra pregunta

Nuestra pregunta determina:

qué dirección plantea $H_A$;
qué extremo de la distribución es relevante;
dónde queda la región de rechazo;
cuál es el valor crítico;
cómo se calcula e interpreta el valor p.

Por eso, aunque obtengamos el mismo t, podemos obtener un valor p diferente.

La idea central

Cambiar de una prueba de dos colas a una prueba de una cola no cambia lo que observamos en los datos.

Lo que cambia es cómo evaluamos ese resultado en función de la pregunta y de la hipótesis que formulamos antes del análisis.

2.10 ¿Qué pasa si el resultado va en la dirección contraria?

Nuestra hipótesis plantea:

Las mujeres sin hijos tienen un ingreso promedio mayor que las mujeres con hijos.

Esperamos entonces una diferencia positiva. Por ejemplo:

\[ 700.000 - 600.000 = 100.000 \]

Pero imaginemos que los datos mostraran:

\[ 550.000 - 700.000 = -150.000 \]

y obtuviéramos:

\[ t=-3.50 \]

El resultado es extremo, pero apunta en la dirección contraria a nuestra hipótesis: en este ejemplo, las mujeres sin hijos tendrían un ingreso promedio menor.

¿Este resultado apoya $H_A$?

No.

Importante

En una prueba direccional no basta con que el resultado sea extremo.

Debe ser extremo en la dirección planteada por $H_A$.

3 Ejercicio autónomo: ahora decida usted la dirección

Hasta ahora resolvimos juntos una prueba direccional.

Ahora aplicará la misma lógica a una relación diferente utilizando datos reales de CASEN 2022.

Queremos comparar los años de escolaridad de dos grupos:

personas de 60 años o más;
personas de 18 a 29 años.

3.0.1 Preparemos los datos

A partir de proc_casen, complete el código para conservar solamente estos dos grupos de edad:

transfer_data <- proc_casen |>
  dplyr::filter(
    (edad >= ___ & edad <= ___) | edad >= ___
  ) |>
  dplyr::mutate(
    grupo_edad = dplyr::case_when(
      edad >= 60 ~ "60 años o más",
      edad >= 18 & edad <= 29 ~ "18 a 29 años"
    )
  )

Ahora ordene los grupos para que la comparación sea:

Mean 1 = 60 años o más
Mean 2 = 18 a 29 años

transfer_data$grupo_edad <- factor(
  transfer_data$grupo_edad,
  levels = c(
    "________________",
    "________________"
  )
)

Nuestra pregunta es:

¿Las personas de 60 años o más presentan, en promedio, menos años de escolaridad que las personas de 18 a 29 años?

Antes de ejecutar la prueba, responda:

¿Cuál es nuestra hipótesis alternativa $H_A$?
¿Esperamos una diferencia positiva o negativa entre Mean 1 - Mean 2?
¿Qué signo de t sería coherente con nuestra hipótesis?
¿Qué opción corresponde en alternative: "two.sided", "greater" o "less"?

Finalmente, complete y ejecute la prueba:

t.test(
  n_educ ~ grupo_edad,
  data = transfer_data,
  alternative = "________"
)

Una vez ejecutada la prueba, responda:

¿El signo de t coincide con la dirección planteada por $H_A$?
¿El valor p es menor o mayor que $\alpha=.05$?
¿Rechazamos o no rechazamos $H_0$?
¿Qué podemos concluir respecto de nuestra pregunta inicial? Recuerde que la conclusión final debe responder la pregunta sustantiva. No basta con indicar si rechazamos o no rechazamos $H_0$.

3.1 ¿Cómo elegimos `alternative`?

Pregunta	Hipótesis alternativa	`alternative`
¿A y B son diferentes?	$\mu_A-\mu_B\neq0$	`"two.sided"`
¿A > B?	$\mu_A-\mu_B>0$	`"greater"`
¿A < B?	$\mu_A-\mu_B<0$	`"less"`

La dirección de la prueba no la decide el resultado: la decide la pregunta que formulamos antes de analizar los datos.

--- title: "Prueba t: hipótesis y direccionalidad" date: "2026-08-26" lang: es format: html: toc: true toc-depth: 2 number-sections: true code-copy: true code-fold: false code-tools: true highlight-style: github embed-resources: true page-layout: full grid: body-width: 1100px margin-width: 280px gutter-width: 1.5rem execute: freeze: auto cache: false warning: false message: false --- <style> /* Código escrito dentro del texto */ :not(pre) > code { color: #00695c !important; background-color: #eef7f6 !important; padding: 0.1em 0.3em; border-radius: 4px; } /* Resultados producidos por R */ .cell-output pre { color: #17233a !important; background-color: #e8f5f3 !important; border-left: 4px solid #009688 !important; padding: 0.8em 1em !important; } .cell-output pre code { color: #17233a !important; background-color: transparent !important; } /* Lectura de párrafos */ main.content p, .callout-body p { text-align: justify; text-justify: inter-word; hyphens: auto; } /* Figuras */ #quarto-content main.content img { display: block; max-width: 100%; height: auto; } #TOC .nav-link { font-size: 0.95rem !important; line-height: 1.15; padding-top: 0.12rem; padding-bottom: 0.12rem; } div.sourceCode, pre.sourceCode { background-color: #F7F8FA !important; border: 1px solid #D9DEE7; border-radius: 6px; } /* Evita un segundo fondo dentro del chunk */ pre.sourceCode code { background-color: transparent !important; } /* Quitar el borde azul exterior de las salidas de R */ #quarto-content .cell-output.cell-output-stdout { border: none !important; border-left: none !important; outline: none !important; box-shadow: none !important; background: transparent !important; } /* Dar un borde gris suave solamente al resultado */ #quarto-content .cell-output.cell-output-stdout > pre { color: #17233a !important; background: #F7F8FA !important; border: 1px solid #D9DEE7 !important; border-left: 4px solid #B8C2D1 !important; outline: 0 !important; box-shadow: none !important; border-radius: 6px !important; padding: 0.8em 1em !important; } </style> # Retomemos el ejercicio anterior: ¿qué nos dicen realmente los resultados? En el práctico anterior dejamos un ejercicio para trabajar de manera autónoma: > **¿Es el ingreso laboral promedio de las mujeres con hijos distinto al ingreso laboral promedio de las mujeres sin hijos?** En este ejercicio queremos comparar los ingresos de ambos grupos. Pero antes de realizar la prueba debemos distinguir entre **lo que observamos en nuestra muestra** y **lo que queremos afirmar sobre la población**. > **Si encontramos una diferencia entre los dos grupos en nuestra muestra, ¿significa que esa diferencia también existe en la población?** **No necesariamente.** Si seleccionáramos otra muestra de mujeres ocupadas, probablemente obtendríamos promedios algo distintos debido a la **variabilidad muestral**. Por eso debemos distinguir: - **Descripción:** ¿qué diferencia observamos en nuestra muestra? - **Inferencia:** ¿qué evidencia nos entrega esa muestra sobre una posible diferencia en la población? ## Carguemos los datos Trabajaremos nuevamente con un subconjunto procesado de la **Encuesta CASEN 2022**. Primero cargamos la base: ```{r} load( url( "https://github.com/cursos-metodos-facso/datos-ejemplos/raw/main/proc_casen.RData" ) ) ``` Ahora conservaremos las variables necesarias, seleccionaremos inicialmente 1.500 mujeres ocupadas y luego trabajaremos con los casos que tengan información completa en las variables utilizadas. ```{r} # Fijamos una semilla para obtener siempre la misma muestra aleatoria set.seed(123) # Creamos una base con las variables que necesitamos goldin_data <- proc_casen |> dplyr::select( ocupado, sexo, ytrabajocor, hijo ) |> # Conservamos solo a las mujeres ocupadas dplyr::filter( ocupado == 1, sexo == 2 ) |> # Seleccionamos aleatoriamente 1.500 casos dplyr::sample_n(1500) # Eliminamos los casos con información faltante goldin_data <- na.omit(goldin_data) ``` Para facilitar la lectura, reemplazaremos los códigos de la variable `hijo` por etiquetas. ```{r} goldin_data$grupo_hijo <- factor( goldin_data$hijo, levels = c(0, 1), labels = c( "Sin hijos", "Con hijos" ) ) ``` ## Primero observemos nuestra muestra Antes de realizar una prueba estadística, veamos qué encontramos **descriptivamente**. ```{r} goldin_data |> # Separamos los datos según si tienen o no hijos dplyr::group_by(grupo_hijo) |> # Calculamos el tamaño del grupo, la media y la desviación estándar dplyr::summarise( N = dplyr::n(), Media = mean(ytrabajocor), SD = sd(ytrabajocor) ) ``` Observe los resultados: > **¿Qué grupo presenta el ingreso promedio más alto?** > **¿Las medias de los dos grupos son iguales?** En nuestra muestra observamos que los promedios son diferentes. Hasta aquí solamente estamos **describiendo la muestra**. Ahora aparece nuestra pregunta inferencial: > **¿Esta diferencia entrega evidencia suficiente para pensar que también existe una diferencia en la población?** ## Planteemos nuestras hipótesis Para responder necesitamos establecer un escenario de referencia. ### Hipótesis nula: $H_0$ > En la población, **no existen diferencias** en el ingreso laboral promedio entre mujeres sin hijos y mujeres con hijos. $$ H_0: \mu_{\text{sin hijos}} - \mu_{\text{con hijos}} = 0 $$ ### Hipótesis alternativa: $H_A$ > En la población, **existen diferencias** en el ingreso laboral promedio entre mujeres sin hijos y mujeres con hijos. $$ H_A: \mu_{\text{sin hijos}} - \mu_{\text{con hijos}} \neq 0 $$ El valor **0** representa nuestro escenario de referencia: que las dos medias poblacionales no presentan diferencias. Este es el escenario planteado por $H_0$: **lo utilizamos como referencia y evaluamos si los datos entregan evidencia suficiente para rechazarlo.**. La pregunta será entonces: > **¿La diferencia que observamos en nuestra muestra es suficientemente grande, considerando su variabilidad, como para cuestionar este escenario?** ## ¿Qué hace la prueba *t*? No basta con saber cuánto difieren las medias. También necesitamos considerar la **incertidumbre de esa diferencia**. La idea central de la prueba puede representarse así: $$ t \approx \frac{\text{diferencia observada}} {\text{incertidumbre de la diferencia}} $$ El estadístico *t* nos indica qué tan grande es la diferencia observada **en relación con su incertidumbre**. ::: {.callout-important} ## La idea detrás de *t* Cuanto más alejado de 0 se encuentre $|t|$, más extremo es el resultado respecto del escenario de diferencia igual a 0 planteado por $H_0$. ::: ## Realicemos la prueba *t* Recordemos que nuestra pregunta es: > **¿Los ingresos promedio de ambos grupos son distintos?** La pregunta busca saber si existe una **diferencia**, pero no establece de antemano cuál de los dos grupos debería tener un promedio mayor. Por lo tanto, nos interesa detectar una diferencia en **cualquiera de las dos direcciones**. Por eso utilizamos una **prueba *t* de dos colas**. En R lo indicamos mediante: ```r alternative = "two.sided" ``` Antes de observar los resultados, utilizaremos $$\alpha = .05$$ como nuestro **criterio de decisión**. Si obtenemos $$p < .05$$, consideraremos que existe evidencia suficiente para rechazar $$H_0$$. Ejecutemos la prueba: ```{r} #| results: hide # Realizamos una prueba t de dos colas test_goldin <- t.test( ytrabajocor ~ grupo_hijo, data = goldin_data, alternative = "two.sided" ) # Mostramos el resultado completo de la prueba test_goldin ``` Ahora presentaremos los resultados en una tabla más sencilla de leer. ```{r} #| warning: false #| message: false # Ordenamos los resultados en una tabla stats.table <- broom::tidy( test_goldin, conf.int = TRUE ) # Presentamos la tabla en un formato más fácil de leer rempsyc::nice_table( stats.table, broom = "t.test" ) ``` No necesitamos interpretar todas las columnas al mismo tiempo. Vamos a leerlas siguiendo el razonamiento de nuestra prueba. ### 1. ¿Qué diferencia observamos? Recuerde el orden de los grupos: - `Mean 1` = mujeres **sin hijos**. - `Mean 2` = mujeres **con hijos**. - `M1 - M2` = diferencia entre ambos promedios: $$ \text{Sin hijos} - \text{Con hijos} $$ En nuestra muestra: - las mujeres **sin hijos** presentan un ingreso promedio de aproximadamente $706.114; - las mujeres **con hijos** presentan un ingreso promedio de aproximadamente $590.848; - la diferencia entre ambos grupos es de aproximadamente $115.266. > **¿Qué grupo presenta el promedio mayor?** Hasta aquí seguimos describiendo lo que ocurrió en nuestra muestra. ### 2. ¿Qué nos dice *t*? Ahora observe la columna `t`. Como vimos antes, este estadístico resume qué tan grande es la diferencia observada respecto de su incertidumbre. En este caso: $$ t=2.39 $$ > **¿El valor de $|t|$ se encuentra cerca o lejos de 0?** La columna `df` muestra los grados de libertad utilizados por la prueba. R los calcula automáticamente. ### 3. ¿Qué nos dice el valor *p*? Observe ahora la columna `p`. El valor *p* nos ayuda a evaluar **qué tan compatible es nuestro resultado con el escenario planteado por $H_0$**. La pregunta que responde es: > **Si $H_0$ fuera cierta, ¿qué tan inusual sería obtener un resultado como el observado o uno más extremo?** La idea es sencilla: - un valor *p* **grande** indica que nuestro resultado no sería especialmente extraño si $H_0$ fuera cierta; - un valor *p* **pequeño** indica que nuestro resultado sería poco frecuente bajo $H_0$ y, por lo tanto, entrega evidencia para cuestionarla. Para decidir qué consideraremos suficientemente pequeño, antes de realizar la prueba establecemos un nivel de significación, este valor funciona como nuestro **criterio de comparación**: $$ \alpha=.05 $$ - si el valor *p* es **menor que .05**, consideramos que el resultado sería poco frecuente si $H_0$ fuera cierta; - si el valor *p* es **mayor que .05**, no tenemos evidencia suficiente para cuestionar $H_0$. > **Ahora observe su resultado: ¿el valor *p* es menor o mayor que .05?** En nuestra prueba obtuvimos: $$ p=.017 $$ Como **.017 es menor que .05**, el resultado observado sería poco frecuente bajo el escenario planteado por $H_0$. Por lo tanto, el valor *p* entrega **evidencia en contra de $H_0$**. ::: {.callout-important} ## Cuidado con la interpretación de *p* El valor *p* **no es la probabilidad de que $H_0$ sea verdadera**. Por ejemplo, si obtenemos $p=.017$, esto **no significa** que exista un 1,7 % de probabilidad de que $H_0$ sea verdadera. Significa que, **si $H_0$ fuera cierta**, un resultado como el observado (o uno más extremo) sería poco frecuente. ::: ### Veamos esta evidencia gráficamente ```{r} #| echo: false #| fig-align: center #| fig-width: 8 #| fig-height: 5 #| fig-cap: "Distribución t de referencia y estadístico t observado." t_obs <- unname(test_goldin$statistic) gl <- unname(test_goldin$parameter) t_crit <- qt( 0.975, df = gl ) limite <- max( 4, abs(t_obs) + 0.8, t_crit + 0.8 ) x <- seq( -limite, limite, length.out = 1500 ) y <- dt( x, df = gl ) plot( x, y, type = "l", lwd = 2, xlab = "Valor t", ylab = "Densidad", main = "", bty = "n" ) x_izq <- x[x <= -t_crit] polygon( c(x_izq, rev(x_izq)), c( dt(x_izq, df = gl), rep(0, length(x_izq)) ), col = adjustcolor("red", alpha.f = 0.20), border = NA ) x_der <- x[x >= t_crit] polygon( c(x_der, rev(x_der)), c( dt(x_der, df = gl), rep(0, length(x_der)) ), col = adjustcolor("red", alpha.f = 0.20), border = NA ) abline( v = 0, lty = 2, lwd = 1.5 ) abline( v = c(-t_crit, t_crit), lty = 2, lwd = 1.5, col = "red" ) abline( v = t_obs, lwd = 2.5, col = "blue" ) text( 0, max(y) * 0.90, "0", pos = 4 ) text( -t_crit, max(y) * 0.45, paste0( "-t crítico = ", round(t_crit, 2) ), pos = 2, col = "red" ) text( t_crit, max(y) * 0.45, paste0( "t crítico = ", round(t_crit, 2) ), pos = 4, col = "red" ) text( t_obs, max(y) * 0.70, paste0( "t observado = ", round(t_obs, 2) ), pos = ifelse( t_obs >= 0, 4, 2 ), col = "blue" ) ``` La curva representa los valores de *t* que podríamos observar si $H_0$ fuera cierta. Los valores próximos a 0 son más compatibles con ese escenario, mientras que los valores extremos son menos compatibles. > **¿Nuestro estadístico *t* se encuentra en una zona central o en una zona extrema?** ### 4. ¿Qué nos dice el intervalo de confianza? Finalmente observe la columna `95% CI`. Recordemos que $H_0$ plantea una **diferencia igual a 0**. Por eso preguntamos: > **¿El intervalo de confianza del 95% incluye el valor 0?** En nuestro resultado, el intervalo va aproximadamente desde **$20.564 hasta $209.968**. El intervalo **no contiene 0**. Por lo tanto, una diferencia poblacional igual a 0 no se encuentra entre los valores compatibles con los datos a este nivel de confianza. ## Juntemos la evidencia Ahora reunamos los distintos elementos de la prueba. | Resultado | ¿Qué nos permite evaluar? | |---|---| | `M1 - M2` | Cuánto difieren los promedios en nuestra muestra | | ***t*** | Qué tan grande es esa diferencia respecto de su incertidumbre | | ***p*** | Qué tan inusual sería el resultado bajo $H_0$ | | **IC 95%** | Si una diferencia poblacional igual a 0 sigue siendo compatible con los datos | Todos estos elementos nos ayudan a responder una misma pregunta: > **¿Tenemos evidencia suficiente para sostener que la diferencia observada en la muestra refleja una diferencia en la población?** En nuestro resultado: - observamos una diferencia entre los promedios; - $|t|=2.39$; - $p=.017<.05$; - el IC del 95% no contiene 0. Estos resultados son coherentes entre sí. Por lo tanto: > **Con $\alpha=.05$, rechazamos $H_0$.** ## Volvamos a nuestra pregunta > **¿Es el ingreso laboral promedio de las mujeres con hijos distinto al ingreso laboral promedio de las mujeres sin hijos?** Ya tomamos una decisión estadística. Ahora podemos expresarla en términos de nuestra pregunta. ### ¿Qué observamos en la muestra? En nuestra muestra, las mujeres **sin hijos** presentan un ingreso laboral promedio mayor que las mujeres **con hijos**, con una diferencia aproximada de **$115.266**. Esta es nuestra **conclusión descriptiva**: señala lo que observamos en los datos analizados. ### ¿Qué podemos decir sobre la población? > **Los datos entregan evidencia de que el ingreso laboral promedio difiere entre las mujeres ocupadas con hijos y las mujeres ocupadas sin hijos.** Esta es nuestra **conclusión inferencial**: la diferencia ya no se refiere solamente a los promedios observados en la muestra, sino a la evidencia que esa muestra entrega sobre una diferencia poblacional. ::: {.callout-note} ## ¿Qué no podemos concluir? Encontrar una diferencia entre ambos grupos **no significa que tener hijos sea la causa de esa diferencia en los ingresos**. La prueba identifica una diferencia entre grupos, pero no permite establecer una relación causal. ::: ## El camino que seguimos en una prueba *t* de dos colas | Paso | Pregunta que fuimos respondiendo | |---|---| | **1. Pregunta** | ¿Los promedios de los dos grupos son diferentes? | | **2. Muestra** | ¿Qué diferencia observamos entre sus medias? | | **3. Hipótesis** | ¿Qué plantea $H_0$ sobre la diferencia poblacional? | | **4. Evidencia** | ¿Qué nos dicen *t*, *p* y el IC? | | **5. Conclusión** | ¿Tenemos evidencia de una diferencia en la población? | En este ejercicio buscamos una diferencia **sin especificar de antemano cuál grupo debía presentar el promedio mayor**. Por eso utilizamos una prueba *t* de **dos colas**. # ¿Diferentes o uno mayor que otro? La dirección en la prueba *t* Hasta ahora preguntamos: > **¿Los ingresos promedio de las mujeres con y sin hijos son distintos?** Ahora haremos una pregunta más específica: > **¿Las mujeres sin hijos tienen un ingreso laboral promedio mayor que las mujeres con hijos?** Los datos y los grupos son los mismos. **Lo que cambió fue la pregunta.** ## ¿“Distinto” y “mayor” significan lo mismo? Pensemos en dos situaciones posibles. **Situación 1.** Las mujeres **sin hijos** presentan un ingreso promedio mayor que las mujeres con hijos. > **¿Este resultado apoyaría nuestra nueva pregunta?** Sí. **Situación 2.** Las mujeres **con hijos** presentan un ingreso promedio mayor que las mujeres sin hijos. > **¿Este resultado también la apoyaría?** No. Los grupos serían diferentes, pero la diferencia ocurriría en la dirección contraria. ::: {.callout-important} Cuando preguntábamos si los grupos eran **distintos**, ambas direcciones podían ser relevantes. Ahora preguntamos si un grupo es **mayor** que el otro: **la dirección importa**. ::: ## ¿Qué signo esperamos en la diferencia? Nuestra pregunta es: > **¿Las mujeres sin hijos tienen un ingreso laboral promedio mayor que las mujeres con hijos?** Antes de formular las hipótesis, recordemos qué estamos comparando: - `Mean 1` = **Sin hijos** - `Mean 2` = **Con hijos** Por lo tanto, la diferencia se calcula como: $$ M1-M2 = \text{Sin hijos} - \text{Con hijos} $$ Si `Mean 1` tiene un promedio mayor que `Mean 2`, esperamos que esta resta sea **positiva**: $$ M1-M2>0 $$ Esta es la dirección que plantea nuestra pregunta. ## ¿Cómo formulamos nuestras hipótesis? Hasta ahora hemos expresado nuestra pregunta en palabras: > **¿Las mujeres sin hijos tienen un ingreso laboral promedio mayor que las mujeres con hijos?** Ahora queremos expresar esa misma idea como una **hipótesis estadística sobre la población**. La lógica es la misma que acabamos de utilizar con la diferencia entre las medias: > Si el primer grupo tiene un promedio mayor que el segundo, la diferencia **Sin hijos − Con hijos** debería ser positiva. ### De la pregunta a $H_A$ Primero escribimos qué medias poblacionales queremos comparar: $$ \mu_{\text{sin hijos}} - \mu_{\text{con hijos}} $$ Ahora incorporamos la dirección planteada por nuestra pregunta. Como esperamos que el promedio de las mujeres sin hijos sea mayor: $$ \mu_{\text{sin hijos}} - \mu_{\text{con hijos}} >0 $$ ¿Por qué aparece `> 0`? Porque si a un número mayor le restamos uno menor, obtenemos un resultado positivo. Por ejemplo: $$ 700-600=100>0 $$ La misma lógica se aplica a nuestra pregunta: **“mayor” se traduce en una diferencia positiva**. Por lo tanto, nuestra hipótesis alternativa es: $$ H_A: \mu_{\text{sin hijos}} - \mu_{\text{con hijos}} >0 $$ $H_A$ expresa justamente la dirección que queremos evaluar: que la diferencia poblacional sea **positiva**. ### ¿Y qué plantea $H_0$? La hipótesis nula reúne los escenarios que **no muestran la diferencia positiva planteada por $H_A$**: $$ H_0: \mu_{\text{sin hijos}} - \mu_{\text{con hijos}} \leq0 $$ Esto incluye dos posibilidades: - diferencia igual a 0 → los promedios son iguales; - diferencia menor que 0 → el promedio de las mujeres sin hijos es menor. Así, nuestras hipótesis quedan enfrentadas de esta forma: $$ H_A: \mu_{\text{sin hijos}} - \mu_{\text{con hijos}} >0 $$ $$ H_0: \mu_{\text{sin hijos}} - \mu_{\text{con hijos}} \leq0 $$ Si la diferencia es **positiva**, apunta en la dirección planteada por $H_A$. Si es **cero o negativa**, no apunta en esa dirección. Podemos quedarnos con una regla sencilla: ::: {.callout-important} ## Para formular una hipótesis direccional 1. Identifique qué grupo aparece primero. 2. Escriba la diferencia entre los grupos. 3. Pregúntese qué signo debería tener esa diferencia según la pregunta. 4. Exprese esa dirección en $H_A$. > **Primero entendemos qué afirma la pregunta; después escribimos la diferencia y recién entonces decidimos el signo de la hipótesis.** ::: Ya sabemos qué dirección establece nuestra hipótesis. Ahora veamos cómo esa misma dirección aparece en el estadístico *t*. ## ¿Qué signo esperamos en *t*? Nuestra hipótesis plantea una diferencia positiva: $$ H_A: \mu_{\text{sin hijos}} - \mu_{\text{con hijos}} >0 $$ Si la diferencia observada ocurre en esa misma dirección, esperamos que el estadístico *t* también sea **positivo**. El signo de *t* conserva la dirección de la diferencia: - *t* positivo → Mean 1 > Mean 2; - *t* negativo → Mean 1 < Mean 2. Por lo tanto: $$ M1-M2>0 \Rightarrow t>0 $$ En nuestro caso: $$ \text{Sin hijos > Con hijos} \Rightarrow M1-M2>0 \Rightarrow t>0 $$ Pero hay una distinción importante: > **No basta con que *t* sea positivo: también debe ser suficientemente extremo.** Un valor positivo nos indica que el resultado apunta en la dirección de $H_A$, pero todavía debemos evaluar si entrega evidencia suficiente para cuestionar $H_0$. ## ¿Por qué ahora hablamos de una cola? En una prueba de dos colas considerábamos resultados extremos en **ambas direcciones**. Ahora nuestra hipótesis alternativa establece una dirección específica. Por lo tanto, debemos concentrarnos en los resultados extremos que ocurren hacia esa dirección. > **Por eso utilizaremos una prueba *t* de una cola.** ## ¿Cómo indicamos esta dirección en R? Ya establecimos la dirección de nuestra hipótesis. Ahora podemos expresarla en R: ```{r} test_una_cola <- t.test( ytrabajocor ~ grupo_hijo, data = goldin_data, alternative = "greater" ) ``` La parte nueva es: ```r alternative = "greater" ``` `"greater"` significa: > **Mean 1 > Mean 2** Como en nuestra comparación: - `Mean 1` = **Sin hijos** - `Mean 2` = **Con hijos** `"greater"` representa la misma dirección que establecimos en $H_A$. Observemos ahora el resultado de la prueba: ```{r} #| code-fold: true #| warning: false #| message: false stats_una_cola <- broom::tidy( test_una_cola, conf.int = TRUE ) rempsyc::nice_table( stats_una_cola, broom = "t.test" ) ``` ## ¿Cuándo *t* es suficientemente extremo? **Ya conocemos nuestro *t* observado. Ahora veamos dónde se encuentra respecto de los valores que consideraríamos suficientemente extremos.** ```{r} #| echo: false #| fig-align: center #| fig-width: 9 #| fig-height: 8 #| fig-cap: "El mismo estadístico t observado en una prueba de dos colas y una prueba de una cola." t_obs <- unname(test_una_cola$statistic) gl <- unname(test_una_cola$parameter) t_crit_dos <- qt( 0.975, df = gl ) t_crit_una <- qt( 0.95, df = gl ) limite <- max( 4, abs(t_obs) + 1, t_crit_dos + 1 ) x <- seq( -limite, limite, length.out = 1500 ) y <- dt( x, df = gl ) ylimite <- max(y) * 1.18 op <- par( mfrow = c(2, 1), mar = c(4, 4, 3.5, 1) ) # --------------------------------------------------------- # Dos colas # --------------------------------------------------------- plot( x, y, type = "n", xlab = "Valor t", ylab = "Densidad", main = "Dos colas: ¿los grupos son distintos?", bty = "n", xlim = c(-limite, limite), ylim = c(0, ylimite) ) x_izq <- x[x <= -t_crit_dos] polygon( c(x_izq, rev(x_izq)), c( dt(x_izq, df = gl), rep(0, length(x_izq)) ), col = adjustcolor("red", alpha.f = 0.20), border = NA ) x_der <- x[x >= t_crit_dos] polygon( c(x_der, rev(x_der)), c( dt(x_der, df = gl), rep(0, length(x_der)) ), col = adjustcolor("red", alpha.f = 0.20), border = NA ) lines( x, y, lwd = 2 ) abline( v = 0, lty = 2 ) abline( v = c(-t_crit_dos, t_crit_dos), lty = 2, lwd = 1.5, col = "red" ) abline( v = t_obs, lwd = 2.5, col = "blue" ) text( -limite * 0.82, max(y) * 0.22, "2,5 %", col = "red" ) text( limite * 0.82, max(y) * 0.22, "2,5 %", col = "red" ) text( -t_crit_dos, max(y) * 0.46, paste0( "t crítico = ", round(-t_crit_dos, 2) ), pos = 2, col = "red" ) text( t_crit_dos, max(y) * 0.46, paste0( "t crítico = ", round(t_crit_dos, 2) ), pos = 4, col = "red" ) text( t_obs, max(y) * 0.73, paste0( "t observado = ", round(t_obs, 2) ), pos = ifelse(t_obs >= 0, 4, 2), col = "blue" ) # --------------------------------------------------------- # Una cola # --------------------------------------------------------- plot( x, y, type = "n", xlab = "Valor t", ylab = "Densidad", main = "Una cola: ¿Mean 1 > Mean 2?", bty = "n", xlim = c(-limite, limite), ylim = c(0, ylimite) ) x_der_una <- x[x >= t_crit_una] polygon( c(x_der_una, rev(x_der_una)), c( dt(x_der_una, df = gl), rep(0, length(x_der_una)) ), col = adjustcolor("red", alpha.f = 0.20), border = NA ) lines( x, y, lwd = 2 ) abline( v = 0, lty = 2 ) abline( v = t_crit_una, lty = 2, lwd = 1.5, col = "red" ) abline( v = t_obs, lwd = 2.5, col = "blue" ) text( limite * 0.82, max(y) * 0.22, "5 %", col = "red" ) text( t_crit_una, max(y) * 0.46, paste0( "t crítico = ", round(t_crit_una, 2) ), pos = 4, col = "red" ) text( t_obs, max(y) * 0.73, paste0( "t observado = ", round(t_obs, 2) ), pos = ifelse(t_obs >= 0, 4, 2), col = "blue" ) par(op) ``` En los dos gráficos el ***t* observado es el mismo 2.39**. Lo que cambia es dónde ubicamos la región de rechazo: - en la prueba de **dos colas**, $\alpha=.05$ se reparte entre ambos extremos; - en la prueba de **una cola**, ese 5 % se concentra en la dirección planteada por $H_A$. Al cambiar la región de rechazo, también cambia el **valor crítico**. ::: {.callout-note} ## El valor crítico {.unnumbered} El **valor crítico** funciona como una **frontera de decisión**: indica qué tan extremo debe ser nuestro *t* observado para entrar en la región de rechazo de $H_0$. Este límite depende de α, de los grados de libertad y de si la prueba considera una o dos colas. ::: Ahora concentremos la atención en la prueba de una cola: > **¿Nuestro *t* observado cruza el valor crítico en la dirección de $H_A$, y entra en la región de rechazo?** ¿Consideramos que el resultado es suficientemente extremo para rechazar $H_0$? En nuestra prueba hacia la derecha: $$ t_{\text{observado}} > t_{\text{crítico}} \Rightarrow \text{región de rechazo} $$ En nuestro caso, el *t* observado **sí supera el valor crítico**. Por lo tanto: > **El resultado entra en la región de rechazo y tenemos evidencia para rechazar la $H_0$ con $\alpha=.05$.** ## ¿Por qué cambia *p* si *t* no cambió? Comparemos directamente ambas pruebas: ```{r} #| echo: false comparacion_pruebas <- data.frame( Prueba = c( "Dos colas", "Una cola" ), t = round( c( unname(test_goldin$statistic), unname(test_una_cola$statistic) ), 2 ), p = format.pval( c( test_goldin$p.value, test_una_cola$p.value ), digits = 3, eps = .001 ) ) knitr::kable( comparacion_pruebas, align = c("l", "c", "c"), col.names = c( "Prueba", "t", "p" ) ) ``` > **El valor de *t* permaneció igual, pero el valor *p* cambió. ¿Por qué?** El t no cambia porque estamos trabajando con los mismos datos y la misma diferencia observada. Lo que cambia es qué resultados consideramos para calcular el valor p. En una prueba de dos colas, contamos resultados tan extremos como el observado o más extremos en ambas direcciones: $$ p = \text{extremo izquierdo} + \text{extremo derecho} $$ En nuestra prueba de una cola hacia la derecha, solo contamos resultados tan extremos o más extremos en la dirección planteada por $H_A$: $$ p = \text{extremo derecho} $$ Por eso, en nuestro caso, el área considerada es menor y el valor p también es menor. > **El t no se hizo más pequeño. Se hizo más pequeña la región de la distribución que utilizamos para calcular p.** ::: {.callout-important} No transformamos manualmente el valor p. Primero formulamos $H_A$ y después especificamos esa dirección en t.test(). Además, una prueba de una cola no produce siempre un valor p menor: esto ocurre aquí porque el t observado está en la misma dirección planteada por $H_A$. ::: ## ¿Qué nos dice ahora el intervalo de confianza? {.unnumbered} Como nuestra hipótesis plantea **una dirección**, el intervalo de confianza también es **unilateral**: Por eso R entrega un intervalo de la forma: $$ [\text{límite inferior},\ \text{Inf}] $$ Aquí lo importante es observar el **límite inferior**. En nuestro resultado, el límite inferior es **mayor que 0**. Por lo tanto, el intervalo queda completamente del lado positivo, en la dirección planteada por $H_A$. Por lo tanto, el intervalo entrega evidencia para poner en duda $H_0$ y es coherente con la hipótesis de que el ingreso promedio de las mujeres sin hijos es mayor. ::: {.callout-note} `Inf` **no significa que la diferencia pueda ser “infinita”**. Aparece porque, en esta prueba direccional, estamos estableciendo un límite inferior y no un límite superior. ::: ::: {.callout-note} ## Conclusión{.unnumbered} Con $$\alpha = .05$$ rechazamos $H_0$. Los datos entregan evidencia de que el ingreso laboral promedio de las mujeres sin hijos es mayor que el de las mujeres con hijos. ::: ## ¿Qué cambió y qué permaneció igual? Ahora podemos reunir todo lo que observamos al pasar de una prueba de **dos colas** a una prueba de **una cola**. Lo importante es recordar que **no cambiamos los datos**. Seguimos comparando a las mismas mujeres, con las mismas medias y la misma diferencia observada. Lo que cambió fue **la pregunta que queremos responder**. Podemos verlo como dos niveles diferentes. ### Lo que proviene de los datos Los datos determinan: - las medias de los grupos; - la diferencia `M1 - M2`; - el estadístico *t*; - los grados de libertad. Como los datos son exactamente los mismos, estos elementos **no cambian**. ### Lo que depende de nuestra pregunta Nuestra pregunta determina: - qué dirección plantea $H_A$; - qué extremo de la distribución es relevante; - dónde queda la región de rechazo; - cuál es el valor crítico; - cómo se calcula e interpreta el valor *p*. Por eso, aunque obtengamos el **mismo *t***, podemos obtener un **valor *p* diferente**. ::: {.callout-important} ## La idea central {.unnumbered} Cambiar de una prueba de dos colas a una prueba de una cola **no cambia lo que observamos en los datos**. Lo que cambia es **cómo evaluamos ese resultado en función de la pregunta y de la hipótesis que formulamos antes del análisis**. ::: ## ¿Qué pasa si el resultado va en la dirección contraria? Nuestra hipótesis plantea: > **Las mujeres sin hijos tienen un ingreso promedio mayor que las mujeres con hijos.** Esperamos entonces una diferencia positiva. Por ejemplo: $$ 700.000 - 600.000 = 100.000 $$ Pero imaginemos que los datos mostraran: $$ 550.000 - 700.000 = -150.000 $$ y obtuviéramos: $$ t=-3.50 $$ El resultado es extremo, pero apunta en la **dirección contraria** a nuestra hipótesis: en este ejemplo, las mujeres sin hijos tendrían un ingreso promedio menor. > **¿Este resultado apoya $H_A$?** **No.** ::: {.callout-important} En una prueba direccional no basta con que el resultado sea extremo. Debe ser extremo **en la dirección planteada por $H_A$**. ::: # Ejercicio autónomo: ahora decida usted la dirección Hasta ahora resolvimos juntos una prueba direccional. Ahora aplicará la misma lógica a una relación diferente utilizando **datos reales de CASEN 2022**. Queremos comparar los **años de escolaridad** de dos grupos: - personas de **60 años o más**; - personas de **18 a 29 años**. ### Preparemos los datos A partir de `proc_casen`, complete el código para conservar solamente estos dos grupos de edad: ```{r} #| eval: false transfer_data <- proc_casen |> dplyr::filter( (edad >= ___ & edad <= ___) | edad >= ___ ) |> dplyr::mutate( grupo_edad = dplyr::case_when( edad >= 60 ~ "60 años o más", edad >= 18 & edad <= 29 ~ "18 a 29 años" ) ) ``` Ahora ordene los grupos para que la comparación sea: - `Mean 1` = **60 años o más** - `Mean 2` = **18 a 29 años** ```{r} #| eval: false transfer_data$grupo_edad <- factor( transfer_data$grupo_edad, levels = c( "________________", "________________" ) ) ``` Nuestra pregunta es: > **¿Las personas de 60 años o más presentan, en promedio, menos años de escolaridad que las personas de 18 a 29 años?** Antes de ejecutar la prueba, responda: 1. **¿Cuál es nuestra hipótesis alternativa $H_A$?** 2. **¿Esperamos una diferencia positiva o negativa entre `Mean 1 - Mean 2`?** 3. **¿Qué signo de *t* sería coherente con nuestra hipótesis?** 4. **¿Qué opción corresponde en `alternative`: `"two.sided"`, `"greater"` o `"less"`?** Finalmente, complete y ejecute la prueba: ```{r} #| eval: false t.test( n_educ ~ grupo_edad, data = transfer_data, alternative = "________" ) ``` Una vez ejecutada la prueba, responda: 1. **¿El signo de *t* coincide con la dirección planteada por $H_A$?** 2. **¿El valor *p* es menor o mayor que $\alpha=.05$?** 3. **¿Rechazamos o no rechazamos $H_0$?** 4. **¿Qué podemos concluir respecto de nuestra pregunta inicial?** Recuerde que la conclusión final debe responder la **pregunta sustantiva**. No basta con indicar si rechazamos o no rechazamos $H_0$. ## ¿Cómo elegimos `alternative`? | **Pregunta** | **Hipótesis alternativa** | **`alternative`** | |---|---|---| | **¿A y B son diferentes?** | $\mu_A-\mu_B\neq0$ | `"two.sided"` | | **¿A > B?** | $\mu_A-\mu_B>0$ | `"greater"` | | **¿A < B?** | $\mu_A-\mu_B<0$ | `"less"` | > **La dirección de la prueba no la decide el resultado: la decide la pregunta que formulamos antes de analizar los datos.**

Prueba t: hipótesis y direccionalidad

1 Retomemos el ejercicio anterior: ¿qué nos dicen realmente los resultados?

1.1 Carguemos los datos

1.2 Primero observemos nuestra muestra

1.3 Planteemos nuestras hipótesis

1.3.1 Hipótesis nula: \(H_0\)

1.3.2 Hipótesis alternativa: \(H_A\)

1.4 ¿Qué hace la prueba t?

1.5 Realicemos la prueba t

1.5.1 1. ¿Qué diferencia observamos?

1.5.2 2. ¿Qué nos dice t?

1.5.3 3. ¿Qué nos dice el valor p?

1.5.4 Veamos esta evidencia gráficamente

1.5.5 4. ¿Qué nos dice el intervalo de confianza?

1.6 Juntemos la evidencia

1.7 Volvamos a nuestra pregunta

1.7.1 ¿Qué observamos en la muestra?

1.7.2 ¿Qué podemos decir sobre la población?

1.8 El camino que seguimos en una prueba t de dos colas

2 ¿Diferentes o uno mayor que otro? La dirección en la prueba t

2.1 ¿“Distinto” y “mayor” significan lo mismo?

2.2 ¿Qué signo esperamos en la diferencia?

2.3 ¿Cómo formulamos nuestras hipótesis?

2.3.1 De la pregunta a \(H_A\)

2.3.2 ¿Y qué plantea \(H_0\)?

2.4 ¿Qué signo esperamos en t?

2.5 ¿Por qué ahora hablamos de una cola?

2.6 ¿Cómo indicamos esta dirección en R?

2.7 ¿Cuándo t es suficientemente extremo?

2.8 ¿Por qué cambia p si t no cambió?

¿Qué nos dice ahora el intervalo de confianza?

2.9 ¿Qué cambió y qué permaneció igual?

2.9.1 Lo que proviene de los datos

2.9.2 Lo que depende de nuestra pregunta

2.10 ¿Qué pasa si el resultado va en la dirección contraria?

3 Ejercicio autónomo: ahora decida usted la dirección

3.0.1 Preparemos los datos

3.1 ¿Cómo elegimos `alternative`?

1 Retomemos el ejercicio anterior: ¿qué nos dicen realmente los resultados?

1.1 Carguemos los datos

1.2 Primero observemos nuestra muestra

1.3 Planteemos nuestras hipótesis

1.3.1 Hipótesis nula: \(H_0\)

1.3.2 Hipótesis alternativa: \(H_A\)

1.4 ¿Qué hace la prueba t?

1.5 Realicemos la prueba t

1.5.1 1. ¿Qué diferencia observamos?

1.5.2 2. ¿Qué nos dice t?

1.5.3 3. ¿Qué nos dice el valor p?

1.5.4 Veamos esta evidencia gráficamente

1.5.5 4. ¿Qué nos dice el intervalo de confianza?

1.6 Juntemos la evidencia

1.7 Volvamos a nuestra pregunta

1.7.1 ¿Qué observamos en la muestra?

1.7.2 ¿Qué podemos decir sobre la población?

1.8 El camino que seguimos en una prueba t de dos colas

2 ¿Diferentes o uno mayor que otro? La dirección en la prueba t

2.1 ¿“Distinto” y “mayor” significan lo mismo?

2.2 ¿Qué signo esperamos en la diferencia?

2.3 ¿Cómo formulamos nuestras hipótesis?

2.3.1 De la pregunta a \(H_A\)

2.3.2 ¿Y qué plantea \(H_0\)?

2.4 ¿Qué signo esperamos en t?

2.5 ¿Por qué ahora hablamos de una cola?

2.6 ¿Cómo indicamos esta dirección en R?

2.7 ¿Cuándo t es suficientemente extremo?

2.8 ¿Por qué cambia p si t no cambió?

¿Qué nos dice ahora el intervalo de confianza?

2.9 ¿Qué cambió y qué permaneció igual?

2.9.1 Lo que proviene de los datos

2.9.2 Lo que depende de nuestra pregunta

2.10 ¿Qué pasa si el resultado va en la dirección contraria?

3 Ejercicio autónomo: ahora decida usted la dirección

3.0.1 Preparemos los datos

3.1 ¿Cómo elegimos alternative?

3.1 ¿Cómo elegimos `alternative`?