Sesión del lunes, 7 de septiembre de 2026
A Ud. se le ha solicitado estimar el promedio de salarios en la población. Para ello se le ha proporcionado la siguiente información:
Además de esto, se le han proporcionado los siguientes valores para realizar inferencia estadística:
# Generación de los datos
options(scipen = 999)
# Establecer la semilla para garantizar la reproducibilidad
set.seed(281217)
# Parámetros actualizados
n <- 900 # Tamaño de la muestra
promedio_salarios <- 850000;desviacion_estandar_salarios <- 300000 # Desviación estándar de los salarios
# Generar la muestra con la nueva semilla y parámetros
ingresos <- rnorm(n, mean = promedio_salarios, sd = desviacion_estandar_salarios)
💡 Clave: promedio
Contrastamos la hipótesis nula (el promedio es igual a 0 en la población):
\[H_{0}: \bar{X}_{salarios}=0\]
En referencia a la siguiente hipótesis alternativa:
\[H_{a}: \bar{X}_{salarios} \neq 0\]
El error estándar (SE, por Standard Error) del promedio es:
\[SE_{\bar{X}}=\frac{s\ (desv.\ estandar)}{\sqrt{N} (tamaño\ muestral)}\]
Reemplazando:
\[SE_{\bar{X}}=\frac{300000}{\sqrt{900}}=\frac{300000}{30}=10000\]
Con esto podemos calcular el valor del z empírico:
\[\begin{align*} z &= \frac{\bar{x}-\mu_0}{SE_{\bar{x}}} \\ &= \frac{850000-0}{10000} \\ &= 85 \end{align*}\]
Esta información fue proporcionada en el enunciado: \(\alpha=5%\), valor crítico= 1,96
Recordar fórmula del intervalo de 95% de confianza para el promedio:
\[\begin{align*} \bar{x} &\pm Z_{\alpha/2}*SE_{\bar{x}} \\\\ 850000 &\pm 1.96*10000 \\\\ 850000 &\pm 19600 \\\\ CI[830400&;869600] \end{align*}\]
En R:
# Calcular el intervalo de confianza al 95%
z_95 <- 1.96 # Valor z para el 95% de confianza
limite_inferior <- promedio_salarios - z_95 * error_estandar
limite_superior <- promedio_salarios + z_95 * error_estandar
# Mostrar los resultados
cat("Intervalo de confianza al 95%: [", round(limite_inferior, 2), ", ", round(limite_superior, 2), "]\n")Intervalo de confianza al 95%: [ 830400 , 869600 ]Recordemos las dos aproximaciones principales para test de hipótesis:
Se pueden aplicar siempre las dos, pero su pertinencia es distinta según lo que se esté estimando: para el caso de la estimación de un promedio poblacional, lo central es poder entregar un rango de valores posibles para el promedio poblacional, por lo que la alternativa b es más pertinente.
Utilizando una muestra de 900 individuos, se estimó el promedio de ingresos en $850,000 con una desviación estándar de $300,000. El error estándar para esta estimación es $10,000, y el intervalo de confianza al 95%, calculado con estos parámetros, se extiende de $830,400 a $869,600. Este intervalo refleja que, con un 95% de confianza, se puede afirmar que el promedio verdadero de ingresos en la población se encuentra dentro de este rango, asumiendo una distribución normal de los ingresos.
Para este ejercicio consideramos la siguiente información proporcionada arriba:
Con esta información ya podemos calcular la diferencia de promedios de la muestra:
\(\bar{X}_{salario-universitario}-\bar{X}_{salario-técnico}=1.500.000-1.200.000=300.000\)
La pregunta ahora es: ¿existe esta diferencia de promedios en la población?
💡 Clave: diferencia-medias
Los 5 pasos de la inferencia en esta caso son los siguientes:
Contrastamos la hipótesis nula (no hay diferencias de promedios entre grupos):
\[H_{0}: \bar{X}_{salariouniversidad} - \bar{X}_{salarioinstituto}= 0\]
En referencia a la siguiente hipótesis alternativa:
\[H_{a}: \bar{X}_{salariouniversidad} - \bar{X}_{salarioinstituto} \neq 0\]
El error estándar de la diferencias de promedios es:
\[SE=\sqrt{\frac{\sigma_{diff}}{n_a}+\frac{\sigma_{diff}}{n_b}}\]
La información sobre el resultado de este cálculo se nos entrega inicialmente y es igual a 15000
Con esto podemos calcular el valor del t empírico:
\(t=\frac{diferenciamedias}{se_{diferenciamedias}} \frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)}{se_{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)}}\)
Con nuestros datos:
\(t=\frac{300000}{15000}=20\)
En este caso lo que es más pertinente es el contraste con valor crítico, pero también es recomendable agregar la información del intervalo de confianza.
t empírico= 20 > t critico=1,96
Intervalo al 95% de confianza:
\[\begin{align*} \bar{x}_1-\bar{x}_2 &\pm t_{\alpha/2}*SE_{\bar{x_1}-\bar{x_2}} \\\\ 300000 &\pm 1.96*15000 \\\\ 300000 &\pm 29400 \\\\ CI[270600&\ ;329400] \end{align*}\]
Se llevó a cabo una prueba t para evaluar las diferencias salariales entre graduados de institutos técnicos-profesionales y universidades, utilizando un tamaño de muestra de 900 casos. La diferencia de medias observada fue de $300,000, con un error estándar de $15,000 para esta diferencia. El análisis resultó en un valor t de 20, indicando una diferencia estadísticamente significativa entre los dos grupos (p < .01). Este valor t refleja que los graduados universitarios tienen un ingreso promedio significativamente mayor en comparación con los graduados de institutos técnicos-profesionales.
A Ud. se le ha solicitado establecer si existen diferencias en el apoyo a la política de sala cuna universal entre mujeres y hombres. En particular, se plantea la pregunta de si las mujeres apoyan en mayor medida esta política que los hombres. Para ello se le ha proporcionado la siguiente información:
# Generación de los datos
options(scipen = 999)
# Establecer la semilla para garantizar la reproducibilidad
set.seed(281217)
# Parámetros
n_mujeres <- 550
n_hombres <- 450
p_mujeres <- 0.68 # Proporción de apoyo a sala cuna universal en mujeres
p_hombres <- 0.56 # Proporción de apoyo a sala cuna universal en hombres
# Generar las muestras de apoyo por grupo (1= apoya, 0= no apoya)
apoyo_mujeres <- rbinom(n_mujeres, size = 1, prob = p_mujeres)
apoyo_hombres <- rbinom(n_hombres, size = 1, prob = p_hombres)Con esta información ya podemos calcular la diferencia de proporciones de la muestra:
\(\hat{p}_{mujeres}-\hat{p}_{hombres}=0,68-0,56=0,12\)
La pregunta ahora es: ¿existe esta diferencia de proporciones en la población, en la dirección esperada (mujeres apoyan más que hombres)?
💡 Clave: proporciones
Los 5 pasos de la inferencia en esta caso son los siguientes:
Contrastamos la hipótesis nula (no hay diferencia, o las mujeres no apoyan más que los hombres):
\[H_{0}: \hat{p}_{mujeres} - \hat{p}_{hombres} \leq 0\]
En referencia a la siguiente hipótesis alternativa direccional (las mujeres apoyan más la política que los hombres):
\[H_{a}: \hat{p}_{mujeres} - \hat{p}_{hombres} > 0\]
El error estándar de la diferencia de proporciones es:
\[SE=\sqrt{\frac{\hat{p}_{1}(1-\hat{p}_{1})}{n_{1}}+\frac{\hat{p}_{2}(1-\hat{p}_{2})}{n_{2}}}\]
La información sobre el resultado de este cálculo se nos entrega inicialmente y es igual a 0,03
Con esto podemos calcular el valor del z empírico:
\(z=\frac{diferenciaproporciones}{se_{diferenciaproporciones}} \frac{(\hat{p}_1-\hat{p}_2)}{se_{(\hat{p}_1-\hat{p}_2)}}\)
Con nuestros datos:
\(z=\frac{0,12}{0,03}=4\)
Como se trata de un test direccional (una cola), el valor crítico ya no divide el área de rechazo en ambos extremos, sino que se concentra en un solo extremo de la distribución: \(\alpha=5\%\), valor crítico (una cola)= 1,645
Al igual que en la estimación de diferencias de promedio, en este caso (estimación de diferencias de proporciones) se utiliza el contraste con valor crítico, ya que lo central es poder establecer si existen o no diferencias en la población. A diferencia del ejercicio anterior, aquí contamos con una expectativa sobre la dirección de la diferencia (mujeres apoyan más que hombres), por lo que corresponde un test de hipótesis direccional (una cola) en lugar de uno bilateral.
Por lo tanto, en este caso lo que es más pertinente es la alternativa a: contraste con valor crítico direccional, complementado con el intervalo de confianza de una cola.
z empírico= 4 > z crítico (una cola)=1,645
Como el z empírico es mayor al z crítico, se rechaza \(H_0\) a favor de \(H_a\): existe evidencia de que las mujeres apoyan en mayor medida la política de sala cuna universal que los hombres.
Intervalo de confianza de una cola al 95% (límite inferior, dado que la hipótesis alternativa es “mayor que”):
\[\begin{align*} \hat{p}_1-\hat{p}_2 &- Z_{\alpha}*SE_{\hat{p_1}-\hat{p_2}} \\\\ 0,12 &- 1,645*0,03 \\\\ 0,12 &- 0,0494 \\\\ CI[0,0706&\ ; +\infty) \end{align*}\]
Se llevó a cabo una prueba z direccional (una cola) para evaluar si las mujeres apoyan en mayor medida que los hombres la política de sala cuna universal, utilizando muestras de 550 mujeres y 450 hombres. La diferencia de proporciones observada fue de 0,12 a favor de las mujeres, con un error estándar de 0,03 para esta diferencia. El análisis resultó en un valor z de 4, superior al valor crítico de una cola de 1,645 (\(\alpha=0,05\)), indicando que la diferencia es estadísticamente significativa en la dirección esperada (p < .01). Estos resultados sugieren que las mujeres apoyan significativamente más que los hombres la política de sala cuna universal, lo que podría ser de interés para el diseño e implementación de dicha política.