Recordando 5 pasos de la inferencia

  1. Formular hipótesis ( \(H_0\) y \(H_A\))

  2. Obtener error estándar y estadístico de prueba empírico correspondiente (ej: Z o t)

  3. Establecer la probabilidad de error \(\alpha\) (usualmente 0.05) y obtener valor crítico (teórico) de la prueba correspondiente

  4. Cálculo de intervalo de confianza / contraste valores empírico/crítico

  5. Interpretación

Esta clase

  1. hipótesis direccionales de diferencia de medias

  2. hipótesis para proporciones (por ejemplo, mayor o menor qué)

1. Hipótesis direccionales

Comparación entre grupos

  • gran parte de las hipótesis de investigación se relacionan con diferencias entre grupos, ej:

  • hombres obtienen mayor salario que las mujeres

  • los chilenos son más prejuiciosos que los migrantes

  • ahora se apoyan los cambios más graduales que antes (comparación en el tiempo)

“la sociología comparada no es una rama especial de la sociología, sino que es la sociología misma en tanto deja de ser puramente descriptiva y aspira a dar razón de los hechos”

Durkheim (1895), Les règles de la méthode sociologique, op. cit., p. 137

¿Es posible traducir una pregunta de investigación en una hipótesis de diferencia de medias?

Comparación de medias ( \(\bar{X}\))

  • la comparación de medias es una manera de contrastar empíricamente teorías e hipótesis de investigación

  • al traducir a este lenguaje, se puede aplicar inferencia estadística para contrastar la hipótesis planteada

La prueba t

  • tenemos un valor de diferencia de medias: \(\bar{X}_1 - \bar{X}_2\)

  • vamos a TRANSFORMAR este valor a un estándar comparable que nos permita evaluar QUE TAN GRANDE es esta diferencia

  • ¿Qué es GRANDE? -> qué tan distinto es de 0 en términos de desviaciones estándar

  • para esto, la diferencia de medias se divide por su ERROR ESTANDAR - > PRUEBA t

  • Este valor t de nuesta diferencia de medias (t empírico) se compara con el t crítico

Visualización interactiva: prueba \(t\)

El valor crítico es el punto (o los puntos) en la distribución de un estadístico de prueba que separa la región de aceptación de la región de rechazo en una prueba de hipótesis

Los grados de libertad son la cantidad de información independiente disponible para estimar parámetros o calcular un estadístico

  • Cada restricción (como conocer un promedio, fijar una suma, etc.) reduce en 1 los grados de libertad.

  • Por ejemplo, si hay tres números que tienen promedio 10, se pueden elegir libremente 2 de ellos, y el tercero ya está determinado. Por lo tanto, hay 3-1 grados de libertad

\(t\) y probabilidad de error \(p\)

  • el cálculo de \(t\) (estimado) nos da un valor que puede ser transformado a un valor de área bajo la curva (tal como en Z)

  • ¿cuál es la probabilidad de error (valor p) de un \(t\) específico?

  • hay que recordar que tanto Z como t tienen promedio 0 y son simétricas, y por lo tanto el 0 divide el área de la curva en 0.5

  • 0.5 es la mayor probabilidad de error (=azar total), y a medida que se aleja del 0.5 disminuye la probabilidad de error

(qt(t, df, lower.tail = FALSE)) * 2

Donde:

  • qt: función que entrega la probabilidad para un valor \(t\)

  • df: grados de libertad (degrees of freedom)

  • lower.tail=FALSE: considera las probabilidades acumuladas hacia la cola superior de la curva

  • *2: al ser una prueba de diferencias, considera zona de rechazo en ambas direcciones de la curva, por lo que las probabilidades se multiplican por 2

En nuestro ejemplo

(pt(0.99215, 341, lower.tail = FALSE)) * 2
[1] 0.3218278

  • La probabilidad de error del \(t\) estimado es de 0.322.

  • Esto quiere decir es que en la estimación de esta diferencia de medias, nos estamos equivocando aproximadamente un tercio de las veces (lejos del nivel convencional de rechazo de \(H_0\) de 0.05)

p y mayores niveles de confianza

  • La obtención del valor \(p\) podría también entregar información para rechazar \(H_0\) con un mayor nivel de confianza al establecido

  • Si bien el p<0.05 es aceptado, en el caso que el p sea menor a 0.01 o 0.001, se reporta por convención el valor p menor

  • Usualmente en los trabajos de investigación esto se representa con asteriscos: \(^{\ast}p<0.05\), \(^{\ast\ast}p<0.01\), y \(^{\ast\ast\ast}p<0.001\)

A mayor valor \(t\), menor probabilidad de error \(p\)

Test de hipótesis: insumos complementarios

Entonces, se logra rechazar la hipótesis nula cuando:

  • el intervalo de confianza no contiene el 0

  • \(t_{calculado} > t_{crítico}\)

  • \(p_{calculado} < p_{crítico}\)

    • o en términos generales convencionales, p<0.05

Test de hipótesis de diferencias en R

t.test(salario ~ sexo, data = casen_350, var.equal = TRUE)

    Two Sample t-test

data:  salario by sexo
t = 0.99215, df = 341, p-value = 0.3218
alternative hypothesis: true difference in means between group 1 and group 2 is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -49287.48 149617.63
sample estimates:
mean in group 1 mean in group 2 
       654585.4        604420.3

Reporte formato APA


“Se realizó una prueba t para muestras independientes para comparar los salarios entre hombres y mujeres. Los resultados indicaron una diferencia no significativa en los salarios entre hombres (M = 654585, SD = 468692) y mujeres (M = 604420, SD = 444666); t(341)=0.9921, p=0.321. El intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias fue [−49288.49;149618.5].

[diferencia no significativa=no se logra rechazar \(H_0\)]

En R con librería report

model <- t.test(salario ~ sexo, data = casen_350, var.equal = TRUE)
report::report(model)

La prueba t de dos muestras que evalúa la diferencia de salario según sexo (media en el grupo 1 = 654585, media en el grupo 2 = 604420) sugiere que el efecto es positivo, estadísticamente no significativo y muy pequeño (diferencia = 50165, IC del 95% [-49,287.48, 150,000], t(341) = 0.99, p = 0.322).

traducido y con mínima edición

Tipos de preguntas e hipótesis (ej: con promedio(s))

Pregunta Hipótesis Prueba
A. ¿Existe el promedio en la población? \(H_{a}: \bar{X}_1 \neq 0\)
\(H_{0}: \bar{X}_1 = 0\)		 Dos colas (no direccional)
B. ¿Existen diferencias de promedios en la población? \(H_{a}: \bar{X}_1 - \bar{X}_2 \neq 0\)
\(H_{0}: \bar{X}_1 - \bar{X}_2= 0\)		 Dos colas (no direccional)
C. ¿Es un promedio (1) superior (o inferior) al otro (2)? \(H_{a}: \bar{X}_1 - \bar{X}_2 \gt 0\)
\(H_{0}: \bar{X}_1 - \bar{X}_2 \leq 0\)		 Una cola (direccional)

Si bien en teoría las hipótesis direccionales se pueden plantear en ambas direcciones, en general (y por simpleza) se expresan en términos de “mayor que”, quedando la zona de rechazo de \(H_0\) a la derecha

Pasos en test de hipótesis

  1. Formulación: El salario de los hombres (grupo 1) es mayor al de las mujeres (grupo 2)

\[ \begin{align*} H_{a}: \bar{X}_1 \gt \bar{X}_2 \\ H_{0}: \bar{X}_1 \leq \bar{X}_2 \end{align*} \]

  1. Obtener error estándar y estadístico de prueba (lo mismo que para el caso anterior)

\[t=\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)}{\sqrt{\frac{s_1²}{\sqrt{n_1}}+\frac{s_2²}{\sqrt{n_2}} }}=\frac{50165}{50561}=0.9921\]

3. Probabilidad de error y valor crítico

  • seguimos con probabilidad de error ( \(\alpha\) 0.05), pero a diferencia de las no-direccionales no se divide entre 2 (colas), sino que es solo para una

3. Probabilidad de error y valor crítico

  • para un nivel de error \(\alpha=0.05\) (de una cola)

  • grados de libertad N-2= 343-2 = 341

qt(p = .05,
   df = 341,
   lower.tail = FALSE)
[1] 1.649334

lower.tail=FALSE se refiere que el cálculo refiere a la cola superior

4. Contraste

  • Recordemos nuestra hipótesis nula:

\[H_{0}: \bar{X}_{hombres} \leq \bar{X}_{mujeres}\]

  • Considerando los valores de contraste:

\[t_{estimado}=0.992 < t_{crítico}=1.6\]

5. Interpretación

Method

Alternative

Mean 1

Mean 2

M1 - M2

t

df

p

95% CI

Two Sample t-test

greater

654,585.37

604,420.29

50,165.08

0.99

341

.161

[-33228.46, Inf]

“Se realizó una prueba t para muestras independientes para examinar si el salario promedio de los hombres (M = 654585, SD = 468692) es mayor que el de las mujeres (M = 604420, SD = 444666), siendo la diferencia entre ambos de 50.165. Los resultados no fueron estadísticamente significativos, t(341)=0.9921, p=0.161. Por lo tanto, con un 95% de confianza no se puede rechazar la hipótesis nula, lo que no permite sustentar la hipótesis inicial (alternativa) que el salario de los hombres es mayor que el de las mujeres.”

¿Qué habría pasado con un tamaño muestral más grande, y/o con un nivel de probabilidad de error distinto?

sub-muestra CASEN 1500 casos

casen_1500 %>% # se especifica la base de datos
  dplyr::group_by(sexo = sjlabelled::as_label(sexo)) %>% # se agrupan por la variable categórica y se usan sus etiquetas con as_label
  dplyr::summarise(Obs. = n(), Promedio = mean(salario, na.rm = TRUE), SD = sd(salario, na.rm = TRUE)) %>% # se agregan las operaciones a presentar en la tabla
  kable(format = "markdown") # se genera la tabla
sexo Obs. Promedio SD
1. Hombre 757 756712.0 852544.0
2. Mujer 680 605150.2 523794.4 

model_dir2 <- t.test(
  salario ~ sexo,
  data = casen_1500,
  alternative = "greater",
  var.equal = TRUE,
  conf.level = 0.95)
stats.table4 <- tidy(model_dir2)
nice_table(stats.table4,
           broom = "t.test")

Method

Alternative

Mean 1

Mean 2

M1 - M2

t

df

p

95% CI

Two Sample t-test

greater

756,712.01

605,150.23

151,561.78

4.01

1,435

< .001***

[89291.57, Inf]

Actividad práctica

Hipótesis para proporciones

Test para proporciones

  • además de las inferencias con medidas de tendencia central (como promedios), es posible también realizar inferencia sobre porcentajes/proporciones, ej:

    • El 20% de l_s chilen_s asiste a la educación superior (hipótesis puntual)

    • Los hombres y las mujeres tienen un distinto porcentaje de acceso a la educación superior (hipótesis de diferencia)

    • Las mujeres asisten más a la educación superior que los hombres (hipótesis direccional)

Datos

stargazer(as.data.frame(casen2022_inf), type = "text")

=========================================================
Statistic   N       Mean      St. Dev.    Min     Max    
---------------------------------------------------------
salario   54,756 680,138.000 645,405.500 8,000 25,000,000
sexo      57,530    1.445       0.497      1       2     
educacion 57,530   10.350       2.245      1       15    
---------------------------------------------------------

frq(casen2022_inf$educacion)
e6a_no_asiste. ¿Cuál es el nivel educacional más alto al cual asistió? (x) <numeric> 
# total N=57530 valid N=57530 mean=10.35 sd=2.25

Value |                                                             Label
-------------------------------------------------------------------------
    1 |                                                  1. Nunca asistió
    2 |                                                      2. Sala cuna
    3 |                    3. Jardín Infantil (Medio menor y Medio mayor)
    4 |       4. Prekínder / Kínder (Transición menor y Transición Mayor)
    5 |                               5. Educación Especial (Diferencial)
    6 |                      6. Primaria o Preparatoria (Sistema antiguo)
    7 |                                               7. Educación Básica
    8 |                                  8. Humanidades (Sistema Antiguo)
    9 |                           9. Educación Media Científico-Humanista
   10 | 10. Técnica, Comercial, Industrial o Normalista (Sistema Antiguo)
   11 |                           11. Educación Media Técnica Profesional
   12 |                  12. Técnico Nivel Superior (Carreras 1 a 3 años)
   13 |                           13. Profesional (Carreras 4 o más años)
   14 |                                           14. Magíster o maestría
   15 |                                                     15. Doctorado
 <NA> |                                                              <NA>

Value |     N | Raw % | Valid % | Cum. %
----------------------------------------
    1 |   242 |  0.42 |    0.42 |   0.42
    2 |     0 |  0.00 |    0.00 |   0.42
    3 |     3 |  0.01 |    0.01 |   0.43
    4 |     4 |  0.01 |    0.01 |   0.43
    5 |    73 |  0.13 |    0.13 |   0.56
    6 |   472 |  0.82 |    0.82 |   1.38
    7 |  7728 | 13.43 |   13.43 |  14.81
    8 |   348 |  0.60 |    0.60 |  15.42
    9 | 18879 | 32.82 |   32.82 |  48.23
   10 |   280 |  0.49 |    0.49 |  48.72
   11 |  7457 | 12.96 |   12.96 |  61.68
   12 |  7623 | 13.25 |   13.25 |  74.93
   13 | 13166 | 22.89 |   22.89 |  97.82
   14 |  1098 |  1.91 |    1.91 |  99.73
   15 |   157 |  0.27 |    0.27 | 100.00
 <NA> |     0 |  0.00 |    <NA> |   <NA>

Variable ed. universitaria

casen2022_inf$educ_sup <- rec(casen2022_inf$educacion, rec = "1:12=0;13:15=1", val.labels = c("Menos que universitaria", "Universitaria o más"))
frq(casen2022_inf$educ_sup)
e6a_no_asiste. ¿Cuál es el nivel educacional más alto al cual asistió? (x) <numeric> 
# total N=57530 valid N=57530 mean=0.25 sd=0.43

Value |                   Label |     N | Raw % | Valid % | Cum. %
------------------------------------------------------------------
    0 | Menos que universitaria | 43109 | 74.93 |   74.93 |  74.93
    1 |     Universitaria o más | 14421 | 25.07 |   25.07 | 100.00
 <NA> |                    <NA> |     0 |  0.00 |    <NA> |   <NA>

pacman::p_load(sjPlot)
casen2022_inf %>%
  sjtab(educ_sup, sexo,
  show.col.prc = TRUE)
e6a_no_asiste. ¿Cuál
es el nivel
educacional más alto
al cual asistió?		 Sexo Total
1. Hombre 2. Mujer
Menos que
universitaria		 25102
78.6 %		 18007
70.3 %		 43109
74.9 %
Universitaria o más 6818
21.4 %		 7603
29.7 %		 14421
25.1 %
Total 31920
100 %		 25610
100 %		 57530
100 %
χ2=524.222 · df=1 · &phi=0.095 · p=0.000


\(p_m - p_h=0.297-0.214=0.083\)


El porcentaje de mujeres con educación universitaria es 8.3% superior en las mujeres


¿Es significativa esta diferencia?

Diferencias entre proporciones

  1. Establecer las hipótesis (y definir si son o no direccionales)

  2. Calcular error estándar

  3. Estimar estadístico de prueba (Z)

  4. Establecer valor crítico de la prueba (de acuerdo a un cierto nivel de confianza)

  5. Contraste e interpretación

Diferencias entre proporciones

1. Establecer las hipótesis

¿Existen diferencias entre el porcentaje de mujeres y hombres con nivel educacional universitario?

\[H_{a}: p_{mujeres} - p_{hombres} \neq 0\] \[H_{0}: p_{mujeres} - p_{hombres}= 0\]

Diferencias entre proporciones

2. Cálculo de error estándar (SE)

El SE para una proporción es:

\[SE_p=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\]

Y para diferencia de proporciones:

\[SE_{p_1 - p_2}=\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}\]

Estimación de error estándar

\[ \begin{align*} SE_{p_a - p_b}&=\sqrt{\frac{p_a(1-p_a)}{n_a}+\frac{p_b(1-p_b)}{n_b}} \\\\ SE_{p_m - p_h}&=\sqrt{\frac{0.297(1-0.297)}{7603}+\frac{0.214(1-0.214)}{6818}} \\\\ SE_{p_m - p_h}&=\sqrt{\frac{0.209}{7603}+\frac{0.168}{6818}}=\sqrt{0.0000275+0.0000246}=0.00722 \end{align*} \]

Diferencias entre proporciones

3. Cálculo de estadístico de prueba

Para diferencia de proporciones se utiliza la prueba \(Z\)

\[Z_{est}=\frac{p_m - p_h}{SE_{p_m -p_h}}=\frac{0.083}{0.0072}=11.528\]

Diferencias entre proporciones

4. Establecer valor crítico de prueba

Y comparamos este valor con el Z crítico para un \(\alpha=0.05\) de dos colas (porque es hipótesis de diferencia)

qnorm(p = .05/2, lower.tail = FALSE)
[1] 1.959964

Diferencias entre proporciones

5. Interpretación

En este caso, nuestro \(Z_{est}=11.528 > Z_{crít}=1.96\), por lo tanto se rechaza \(H_0\)

La proporción de universitarias y universitarios es diferente, con un 95% de confianza

Diferencias entre proporciones

(6). Construcción intervalo de confianza

Para obtener un intervalo de confianza, a la diferencia de proporciones se le suman/restan errores estándar multiplicados por el valor Z crítico según nivel de confianza, en este caso \(\alpha/2=0.05/2\) (prueba de dos colas)

\[ \begin{align*} p_1 - p_2 &\pm Z_{crit_{\alpha/2}}*SE_{p_a - p_b} \\ 0.297-0.214 &\pm1.96*0.00722\\ 0.083&\pm 0.0142 \\ \end{align*} \]

\[CI[0.07;0.09]\]

Podemos entonces decir con un 95% de confianza que la diferencia de proporción de universitari_s entre hombres y mujeres se encuentra entre un 7% y un 9%

Estimación directamente en R con prop.test

prop_dif <- prop.test(x = c(7603, 6818), n = c(25610, 31920))
prop_dif
2-sample test for equality of proportions with continuity
    correction

data:  c(7603, 6818) out of c(25610, 31920)
X-squared = 524.22, df = 1, p-value < 0.00000000000000022
alternative hypothesis: two.sided
95 percent confidence interval:
 0.07606640 0.09049306
sample estimates:
   prop 1    prop 2
0.2968762 0.2135965

Dos cosas importantes para reporte de este output:

  • probabilidad de error p: si es menor al nivel de error especificado ( \(\alpha\)), se rechaza la hipótesis nula. En este caso, las diferencias entre grupos son significativamente distintas de cero.

  • el intervalo de confianza: rango de valores con un 95% de confianza para la diferencia estimada.

Hipótesis direccionales de proporciones

Paso 1: hipótesis

¿Es superior la proporción de mujeres con educación superior?

En este caso,

\[H_{0}: p_{mujeres} \leq p_{hombres}\]

En relación a la siguiente hipótesis alternativa:

\[H_{a}: p_{mujeres} \gt p_{hombres}\]

Hipótesis direccionales de proporciones

Paso 2 (SE) y 3 (estadístico de prueba) igual que para hipótesis no direccionales

Hipótesis direccionales de proporciones

Paso 4: Valor crítico de prueba

Valor crítico de Z para una cola

qnorm(p = .05, lower.tail = FALSE)
[1] 1.644854

Hipótesis direccionales de proporciones

Paso 5: Interpretación

Valor crítico se compara con el valor estimado de Z para la diferencia de proporciones,

En este caso, \[Z_{est}=11.528 \gt Z_{crít}=1.644\]

Por lo tanto se rechaza \(H_0\), con un 95% de confianza podemos decir que la proporción de mujeres universitarias es mayor en mujeres que en hombres.

Estimación directamente en R con prop.test

prop_greater <- prop.test(x = c(7603, 6818), n = c(25610, 31920), alternative = "greater")
prop_greater
    2-sample test for equality of proportions with continuity
    correction

data:  c(7603, 6818) out of c(25610, 31920)
X-squared = 524.22, df = 1, p-value < 0.00000000000000022
alternative hypothesis: greater
95 percent confidence interval:
 0.07722045 1.00000000
sample estimates:
   prop 1    prop 2
0.2968762 0.2135965

Visualización interactiva: prueba de diferencia de proporciones

Resumen de inferencia

  • La inferencia estadística permite sacar conclusiones sobre una población a partir de una muestra.
  • Se basa en un contraste de hipótesis, que puede ser direccional o no direccional.
  • La lógica de falsación busca rechazar la hipótesis nula, y se basa en el cálculo de un estadístico de prueba y su comparación con un valor crítico.