Estadística Correlacional

Inferencia, asociación, y reporte

Juan Carlos Castillo
Sociología FACSO - UChile
2do Sem 2026

correlacional.metodos-facso.org


Sesión 8:

Asociación y covarianza

Hasta ahora (Unidad 1)

  • Probabilidad, teorema central del límite, error estándar, hipótesis, diferencias entre grupos

Ahora (Unidad 2)

  • Asociación: ¿en qué medida dos fenómenos (sociales) se encuentran vinculados?

¿Por qué es importante estudiar asociación en ciencias sociales?

Ejemplo: origen escolar y puntaje PAES

Porcentaje de estudiantes que obtiene puntajes en el 20% superior a nivel nacional, según tipo de colegio:

Tipo de colegio % en el 20% superior
Particular pagado 61,3%
Particular subvencionado 16,8%
Público 9,5%

Fuente: CIPER, “PAES: una radiografía de la educación y el país”

Objetivos de la sesión de hoy

  1. Comprender los conceptos de covarianza y correlación

  2. Aprender el cálculo de ambos coeficientes y su interpretación

  3. Entender las limitaciones del coeficiente de corelación y su consideración en el cálculo e interpretación

Lectura: Moore 97-131 Análisis de relaciones

1. Varianza y nube de puntos

Ejemplo minimalista: educación e ingreso

  • simulamos datos para

    • 8 casos

    • 8 niveles de educación (ej: desde básica incompleta=1 hasta postgrado=8)

    • 12 niveles de rangos de ingreso (ej: desde menos de 100.000=1 hasta más de 10.000.000=12)

Generación de datos ejemplo

educ <- c(2,3,4,4,5,7,8,8)
ing <- c(1,3,3,5,4,7,9,11)

data <- data.frame(educ, ing)
kableExtra::kbl(data)
educ ing
2 1
3 3
4 3
4 5
5 4
7 7
8 9
8 11

Midiendo dispersión:

\[Varianza=\sigma^{2}={\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\bar{x})^{2}\over {N - 1}}\]



\[\sigma^{2}={\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\bar{x})^{2}\over {N - 1}}\]



\[\sigma^{2}={\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\bar{x})^{2}\over {N - 1}}\]

Varianza educación

\[Varianza=\sigma^{2}={\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\bar{x})^{2}\over {N - 1}}\]

mean(data$educ)
[1] 5.125
data$mean_educ <- mean(data$educ)
data$dif_m_educ <- data$educ-data$mean_educ
data$dif_m_educ2 <- (data$dif_m_educ)^2
kbl(data, digits = 2) %>%
  scroll_box(width = "500px", height = "500px")
id educ ing mean_educ dif_m_educ dif_m_educ2
1 2 1 5.12 -3.12 9.77
2 3 3 5.12 -2.12 4.52
3 4 3 5.12 -1.12 1.27
4 4 5 5.12 -1.12 1.27
5 5 4 5.12 -0.12 0.02
6 7 7 5.12 1.88 3.52
7 8 9 5.12 2.88 8.27
8 8 11 5.12 2.88 8.27

id educ ing mean_educ dif_m_educ dif_m_educ2
1 2 1 5.12 -3.12 9.77
2 3 3 5.12 -2.12 4.52
3 4 3 5.12 -1.12 1.27
4 4 5 5.12 -1.12 1.27
5 5 4 5.12 -0.12 0.02
6 7 7 5.12 1.88 3.52
7 8 9 5.12 2.88 8.27
8 8 11 5.12 2.88 8.27 


sum(data$dif_m_educ2)
[1] 36.875

Varianza educación

\[ \begin{align*} Varianza =\sigma^{2} &={\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\bar{x})^{2}\over {N - 1}}\\ \sigma^{2} &={(36,875)\over {8 - 1}}\\ \sigma^{2} &= 5,267\\ \end{align*} \]


var(data$educ)
[1] 5.267857

Varianza ingreso

Promedio ingreso:

mean(data$ing)
[1] 5.375


SS ingreso \((x_{i}-\bar{x})^{2}\):

data$mean_ing <- mean(data$ing)
data$dif_m_ing <- data$ing-data$mean_ing
data$dif_m_ing2 <- (data$dif_m_ing)^2
sum(data$dif_m_ing2)
[1] 79.875

\[ \begin{align*} Varianza =\sigma^{2} &={\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\bar{x})^{2}\over {N - 1}}\\ \sigma^{2} &={(79,875)\over {8 - 1}}\\ \sigma^{2} &= 11.41071\\ \end{align*} \]


var(data$ing)
[1] 11.41071

¿Por qué es importante la varianza?


Indica la dispersión (variabilidad) de los datos en torno al promedio

Permite cuantificar relaciones entre variables: covarianza

Asociación

id educ ing
1 2 1
2 3 3
3 4 3
4 4 5
5 5 4
6 7 7
7 8 9
8 8 11

Graficando cada caso:

En R

plot1 <- ggplot(data,
  aes(x=educ, y=ing)) +
  geom_point(
    colour = "red",
    size = 5) +
  scale_x_continuous(breaks = 1:8, limits = c(1, 8)) +
  scale_y_continuous(breaks = 1:12, limits = c(1, 12)) +
  theme(text =
    element_text(size = 20))

Nube de puntos:

La nube de puntos o scatterplot es una representación gráfica de la asociación de dos variables, donde cada punto representa el valor de cada caso en cada una de las variables



¿Cómo expresar matemáticamente este patrón de asociación?

2. Covarianza

Hacia la covarianza

Educación

Ingreso

Covarianza

Varianza educación (x)

\[\sigma_{edu}^{2}={\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\bar{x})^{2}\over {N - 1}}\] \[\sigma_{edu}^{2}={\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\bar{x})(x_{i}-\bar{x})\over {N - 1}}\]

Varianza ingreso (y)

\[\sigma_{ing}^{2}={\sum_{i=1}^{N}(y_{i}-\bar{y})^{2}\over {N - 1}}\] \[\sigma_{ing}^{2}={\sum_{i=1}^{N}(y_{i}-\bar{y})(y_{i}-\bar{y})\over {N - 1}}\]

\[Covarianza=cov(x,y) = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})} {N-1}\]

Cálculo covarianza

data$dif_xy <-
  data$dif_m_educ*
  data$dif_m_ing
data %>% select(educ,ing,
        dif_m_educ,
        dif_m_ing,
        dif_xy) %>% kbl
educ ing dif_m_educ dif_m_ing dif_xy
2 1 -3.125 -4.375 13.671875
3 3 -2.125 -2.375 5.046875
4 3 -1.125 -2.375 2.671875
4 5 -1.125 -0.375 0.421875
5 4 -0.125 -1.375 0.171875
7 7 1.875 1.625 3.046875
8 9 2.875 3.625 10.421875
8 11 2.875 5.625 16.171875 
sum(data$dif_xy)
[1] 51.625

Covarianza

\[ \begin{align*} Covarianza=cov(x,y) &= \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})} {N-1} \\ &= \frac{51.625} {8-1} \\ &=7.375 \end{align*} \]

cov(data$educ,data$ing)
[1] 7.375

  • La covarianza es una medida de asociación entre variables basada en la variabilidad de cada una de ellas

  • La distancia del promedio del valor de una variable (residuo): ¿tiene relación con el residuo de otra variable?

  • Expresa la medida en que los valores de cada variable se distancian respectivamente de su promedio

  • Su valor no es interpretable directamente

3. Correlación de Pearson

Correlación producto-momento de Pearson


  • Medida estandarizada de covarianza

  • Basada en los trabajos de Galton y de Bravais

  • Desarrollada por Karl Pearson (1857-1936): físico, matemático, estadístico y germanista. Y eugenista …

Correlación producto-momento (Pearson): r

\[ \begin{align*} Covarianza = cov(x,y) &= \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})} {n-1}\\ \\ Correlación=r &= \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})} {(n-1)\sigma_x \sigma_y }\\ \\ &= \frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x-\bar{x})^{2} \sum(y-\bar{y})^{2}}} \end{align*} \]

Cálculo correlación r de Pearson

educ ing dif_m_educ2 dif_m_ing2 dif_xy
2 1 9.77 19.14 13.67
3 3 4.52 5.64 5.05
4 3 1.27 5.64 2.67
4 5 1.27 0.14 0.42
5 4 0.02 1.89 0.17
7 7 3.52 2.64 3.05
8 9 8.27 13.14 10.42
8 11 8.27 31.64 16.17

\[r=\frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x-\bar{x})^{2} \sum(y-\bar{y})^{2}}}\]

sum(data$dif_xy); sum(data$dif_m_educ2);sum(data$dif_m_ing2)
[1] 51.625
[1] 36.875
[1] 79.875

Cálculo correlación

\[ \begin{align*} r &= \frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x-\bar{x})^{2} \sum(y-\bar{y})^{2}}} \\ \\ &= \frac{51.625}{ \sqrt{36.875*79.875}} \\ \\ &= \frac{51.625}{54.271} \\ \\ &= 0.951 \end{align*} \]

cor(data$educ,data$ing)
[1] 0.9512367

Interpretación

  • El coeficiente de correlación (de Pearson) es una medida de asociación lineal entre variables, que indica el sentido y la fuerza de la asociación

  • Varía entre +1 y -1, donde

    • valores positivos indican relación directa (aumenta una, aumenta la otra)

    • valores negativos indican relación inversa (aumenta una, disminuye la otra)

Nubes de puntos (scatterplot)

Nubes de puntos (scatterplot)

Nubes de puntos (scatterplot)

Adivine la correlación:

guessthecorrelation.com

Nubes de puntos (scatterplot)

4. Limitaciones

Limitaciones correlación

  • medida de asociación lineal entre variables

  • no captura apropiadamente asociaciones no lineales

  • posee supuestos distribucionales de x e y (distribución normal)

  • sensible a valores extremos

  • un mismo coeficiente puede reflejar distintas distribuciones bivariadas

Resumen

  • Asociación, explicación y ciencias sociales

  • Varianza y covarianza

  • Pearson: asociación en un número en rango fijo

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